هارمونیک (۲)

در ادامه مطالبی که در مورد اصوات و مشخصه های آنها بیان شد، به این قسمت می رسیم که اگر بتوانید موج مرکبی را تجزیه کنید، در میان امواج آنالیز شده، موج سینوسی ساده ای را مشاهده خواهید کرد که هم فرکانس با موج مرکب است و دیگر امواج حاصل از آنالیز، فرکانسهایی متناسب با این موج سینوسی دارند.

با توجه به اینکه این مسئله تصادفی نبوده و با آزمایشات متفاوت همواره این امواج را با خصوصیات فوق الذکر شاهد هستیم؛ برای ما این سوال مطرح میشود که علت این امر چیست؟ چطور میتوان موج های ساده ی یک موج مرکب را تعیین کرد؟ چرا شکل موج مرکب با امواج ساده سینوسی که آن را پدید آورده اند تفاوت دارد؟ آیا شکل موج مرکب را قبل از ترکیب امواج ساده سینوسی می توان تعیین کرد؟ آیا این مسائل با ریاضیات قابل توجیه است؟ و دیگر مسائلی از این قبیل که می خواهم در این قسمت به آنها بپردازم.

قبل از شروع، لازم به تذکر است که فقط به دلیل اینکه مقاله حاضر برای عموم عینی و ملموس تر باشد، از ابتدای بحث از سیم مرتعش برای نشان دادن مسائل مربوطه استفاده کردیم اما تمام این مطالب برای دیگر وسایل تولیدکننده اصوات اکوستیکی مثل ستون هوا، کاسه صدا، زبانه و غیره نیز صدق میکند.

ترکیب امواج و شکل موج مرکب:

لزومآ شکل موج مرکب را با داشتن توابع سینوسی ساده نمیتوان نتیجه گیری کرد و آنرا تابع سینوسی ساده ای مثل امواج سازنده اش دانست؛ چراکه وقتی دو موج به هم میرسند یا با هم ترکیب میشوند، بسته به نوع ترکیبشان و شکل اولیه امواج میتوانند باعث تشدید، تضعیف و تغییر شکل موج حاصل از تداخل شوند.

به عنوان مثال به شکل زیر دقت کنید که دو موج ساده y1 و y2 بعد از ترکیب با هم، چه شکل غیر منتظره ای را حاصل کرده اند:

همانطور که اشاره شد، علل بسیاری در شکل موج مرکب می توانند دخیل باشند؛ لذا فقط به ذکر چند مورد مهم اکتفا می کنیم. در شکل بالا، پدیده ای به نام ضربان باعث شده شکل موج حاصل از تداخل با امواج اولیه فرق داشته باشد. این پدیده (ضربان یا زنش) یکی از مهمترین مواردی است که باعث میشود شکل موج مرکب شبیه به امواج اولیه نباشد.

ضربان چیست؟

در واقع از ترکیب خطی دو ارتعاش هارمونیک ساده که فرکانس نزدیک هم دارند پدیده ای بنام ضربان (Beat) ایجاد میشود. به بیان ساده تر اگر دو موج با دامنه یکسان و فرکانسهای متفاوت داشته باشیم در موقعی که اختلاف فرکانسی اندک است، مجموع آنها موجی است که ضربان روی آن اتفاق می افتد و آنچه میشنویم، صدای زنش است؛ به این خاطر که دو فرکانس به اندازه نزدیک و مشابه یکدیگر هستند، هر دو به یک نسبت پرده بازیلر را تحریک کرده و لذا دارای یک ارتفاع هستند. وقتی دو تن متناوبآ هم فاز و در فاز مخالف یکدیگر قرار بگیرند، ارتعاشاتی را در این پرده سبب میشوند که دامنه آن متناوبآ کم و زیاد میشود، در نتیجه صوتی که میشنویم، تن واحدی است که بلندی آن به نرمی و بصورت سیکلهای منظمی که به میزان اختلاف فرکانسی است، تغییر میکند.

دو موج تعریف شده، را که هر دو یک دامنه دارند (A) با اندکی اختلاف فرکانسی (f1 و f2) بصورت زیر داریم، فرمول دو موج بخوبی بیانگر این مطلب است اما قبل از شروع عملیات ریاضی به شکل این دو موج توجه کنید:

حال به شکل پایین که از تداخل دو موج بالا پدید آمده نگاه کنید، همانطور که ملاحظه می کنید موج حاصل از تداخل، به هیچ عنوان شبیه امواج تولید کننده اش نبوده و شکل یک موج سینوسی ساده را ندارد و در آن ضربان را شاهدیم.

بعد از جمع زدن دو فرمول موج و ساده کردن به فرمول کلی میرسیم که به این صورت بیان میشود:

مادامی که اختلاف فرکانسی بین دو فرکانس زیاد شود، میزان ضربان هم بالا میرود و تا حدی که میزان ۶ یا ۷ ضربان در ثانیه داشته باشیم، صوت حاصل از تداخل، دارای نرمی و ملایمت است و اگر این روند بالاتر باشد، دیگر بلندی صوت زنش بطور ملایم تغییر نمیکند، بلکه در فواصلی بسیار شدید شده و با افزایش این خاصیت، زنش ناصاف و صوت خشن و ناموزون میشود؛ با توجه به اینکه این پدیده توسط گوش انسان قابل درک است و در مواقعی که اختلاف فرکانسی کمی داریم، شاهد آن هستیم، استفاده از این پدیده برای هم فرکانس کردن دو موج یا در موسیقی برای دقیق کردن کوک سازهای موسیقی بسیار حائز اهمیت و پر کاربرد است.

اختلاف فاز:

یکی دیگر از پدیده هایی که باعث میشود شکل موج حاصل از تداخل با امواج سازنده اش تفاوت کند، اختلاف فاز امواج سازنده است؛ اگر در امواج تولید کننده، فرکانس و طول موج و دامنه یکسان داشتیم اما فاز تفاوت داشت، به این صورت:

که در حقیقت در این نوع تداخل، فرکانس و طول موج با امواج اولیه به همان صورت اولیه باقیمانده ولی دامنه و فاز فرق میکند. به مهمترین مثالها از این دسته تداخل امواج نگاه کنید:

بطور حتم در تکنولوژی صدا، بجز ترکیب امواج، موارد بسیاری یافت میشود که بخواهیم روی یک موج تفکیک شده کار کنیم، چه راهی برای این مسئله وجود دارد؟ به نظر شما در اینجا چقدر میتوان روی ریاضیات حساب کرد؟

۱- ضربان، Beat(انگلیسی) ; Battements (فرانسوی) ; Schwebungen (آلمانی); Battimenti (ایتالیایی)

منابع:

dspguide. com – cord. edu – en. wikipedia. org – phys. unsw. edu. au – angelfire. com – cnx. org
sweb. cz/vladimir_ladma – zonicweb. net – plus. maths. org – mathworld. wolfram. com
کتاب: مبانی اکوستیک – لارنس ای. کینزلر، آستین آر. فرای/ دکتر ضیائ الدین اسمعیل بیگی، دکتر مهدی برکشلی – کتاب: تاریخ زیبایى شناسى – ولادیسلاو تاتارکیویچ