Harmonytalk

به سوی ۱۲ نیم پرده مساوی

با توجه به نقص سیستم فیثاغورثی ٬ برای انجام مدولاسیون به تمام کلیدها در طول تاریخ راههای مختلفی طی شد که اعتدال مساوی Equal temperament یکی از آنها است. در سیستم ۱۲ قسمتی مساوی (۱۲-Equal divisions of octave) یا ۱۲-EDO که همان گام ۱۲ نیم پرده مساوی و نوعی اعتدال مساوی است تمام پنجمها یکسان و مساوی ۷۰۰ سنت می باشند. از طرفی مجموع فواصل در چرخه ۱۲ درجه ای پنجمها ۸۴۰۰ سنت =۱۲*۷۰۰ است.

. برای دستیابی به این عدد در چرخه پنجمها باید تعداد ۱۱ فاصله پنجم ۷۰۱.۹۵۵ سنتی را بگونه ای کاهش و پنجم ولف ۶۷۸.۴۹۵ سنتی را افزایش دهیم تا ۱۲ عدد فاصله پنجم ۷۰۰ سنتی بدست آوریم . این روش عبارت است از حذف کما از چرخه بالارونده یا اضافه کردن کما به چرخه پایین رونده به شیوه زیر:

- در چرخه بالارونده باید از هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل :

کسر گردد. ۱.۹۵۵ سنت که گراد Gradنامیده می شود حاصل تقسیم کمای فیثاغورثی بر ۱۲ است و دلیل تقسیم کما بر ۱۲ این است که در چرخه بالارونده ۱۲ درجه ای به هر درجه ضریبی متناسب از گراد اضافه می شودتا در نهایت به درجه ۱۲ مقدار ۱۲*۱.۹۵۵ یا همان کمای فیثاغورثی اضافه می شود. با کاهش مقدار متناسبی از گراد از هر درجه در نهایت به سیستم ۱۲ قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم.

- در چرخه پایین رونده باید به هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل :

اضافه گردد. با اضافه شدن مقدار متناسبی از گراد به هر درجه در نهایت به سیستم ۱۲ قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم. در شکل زیر چرخه بالارونده پنجم ها در سیستم ۱۲ نیم پرده معتدل را مشاهده می کنیم.

در این سیستم نیم پرده های آپوتوم و لیما (کروماتیک و دیاتونیک) تبدیل به یک نیم پرده می شوند. به این ترتیب تمام نیم پرده ها و پرده ها یک اندازه شده و مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود. در شکل زیر ماتریس فواصل سیستم ۱۲ قسمتی مساوی مشاهده می شود.

آنچنانکه در ماتریس بالا مشخص است با تغیر تونیک (C,C#,D,D#,….) اندازه فواصل تغییر نمیکند و در نتیجه بیان موسیقی در مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود ولی لحن فیثاغورثی موسیقی از دست می رود.

ریاضی سیستم ۱۲ قسمتی مساوی

همانطور که در اشاره شد نحوه تعدیل سیستم فیثاغورثی خود دارای بنیادی ریاضی است. اما می توان به جنبه های دیگر ریاضی این سیستم نیز پرداخت.

۱- اصولا نیم پرده های مساوی حاصل تقسیم اکتاو به ۱۲درجه لگاریتمی مساوی می باشند. سیستم ۱۲ درجه ای فیثاغورثی ٬ ناشی از چرخه بالارونده یا پایین رونده پنجم ٬ گویای حضور ۱۲ نیم پرده نامساوی می باشد. حال می توان اکتاو ۱۲۰۰ سنتی را به ۱۲ قسمت مساوی تبدیل نمود تا ۱۲نیم پرده مساوی ۱۰۰ سنتی حاصل شود.

۲- سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی حاصل میانگین هندسی است. با احتساب میانگین هندسی فواصل ۱/۲ و ۱/۱ می توان نسبت فاصله چهارم افزوده را پیدا نمود که معادل:

است. به همین ترتیب می توان بقیه فواصل بینابینی را پیدا نمود . مثلا با محاسبه ریشه دوم نسبت فاصله چهارم افزوده ٬ نسبت فاصله سوم کوچک بدست می آید. به طور کلی فاصله متشکل ازn نیم پرده دارای نسبتی معادل :

می باشد. در جدول زیر مقادیر فرکانسی برای درجات مختلف سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی با A=۴۴۰ Hz به عنوان نت آغازین مشاهده می شود.

اعتدال در سیستم فیثاغورثی

اعتدال یا Temperament به معنای تغییر تعدادی از فواصل است به گونه ای که سیستم به حداکثر کارایی خود از نظر هارمونی و مدولاسیون به بهای فدا شدن خلوص هارمونیک برسد. تبدیل فاصله پنجم طبیعی ۲/۳ با اندازه ۷۰۱.۹۵۵ سنت به فاصله پنجم ۷۰۰ سنتی که مبنای ایجاد اعتدال ۱۲ نیم پرده مساوی است مثالی از این تغییرات اعتدالی است.

اما چرا سیستم فیثاغورثی به سمت اعتدال پیش رفت ؟ باید گفت که مهمترین ضعف سیستم فیثاغورثی در آن است که چرخه بالارونده یا پایین رونده پنجم ها هیچگاه به اکتاو درست Perfect Octave ختم نمی شود و همان طور که دیدیم در انتهای سیکل بالارونده ۱۲ درجه ای به فاصله ۱۲۲۳.۴۶ سنتی می رسیم که در واقع اکتاوی است که به آن یک کمای فیثاغورثی اضافه شده است و شکل واقعی چرخه پنجم را به مارپیچ پنجم ها Helix of fifths تبدیل می کند:

همان طور که در شکل بالا مشخص است ٬ به دلیل مارپیچی بودن توالی پنجم ها و وجود اختلاف به اندازه یک کما بین نیم پرده های آنارمونیک این سیستم ٬ هیچ گاه فواصلی مانند B# با C و Dbb یا G# با Ab و F## برابر نیستند.

با فرض اکتاو ۱۲۰۰ سنتی ٬ طبیعتا مقداریک کما از یکی از درجات چرخه کسر می گردد که این خود باعث می شود مقدار سنت یکی از پنجمها در چرخه بالارونده به ۶۷۸.۴۹۵ تبدیل شود . در تئوری فواصل ٬ به این فاصله پنجم ولف Wolf می گویند ( اصولا با کسر و یا اضافه شدن مقدار کما از فاصله پنجم و چهارم ٬ فاصله پنجم یا چهارم Wolf ایجاد می شود).

اگر تعداد درجات چرخه بالارونده را M فرض کنیم ٬ موقعیت پنجم ولف در چرخه پنجم ها بین درجات M و M+۱ است. مثلا در سیستم ۱۲ درجهای فیثاغورثی ٬ ناشی از چرخه پنجم بالارونده ۸ درجه ای ( و طبیعتا پایین رونده ۳ درجه ای ) ٬ پنجم ولف بین درجات ۸ و ۹ قرار دارد یعنی فاصله G# - Eb ٬ اما فواصل G# - D# یا Ab - Eb پنجم درست می باشند :

مثال دیگر: در شکل رایج سیستم فیثاغورثی ۱۲ درجه ای که بر اساس چرخه بالارونده ۶درجه ای و چرخه پایین رونده ۵ درجه ای

شکل گرفته است ٬ پنجم Wolf بین C# وF# )درجات ۶ و ۷ ) قرار دارد. سیستم فیثاغورثی بیشتر در فرهنگهای موسیقایی مبتنی بر فواصل پنجم مانند موسیقی خاور میانه و یا موسیقی دوران قرون وسطی اروپا کاربرد داشته و دارد. فاصله سوم بزرگ آن در اکثرکلیدها فیثاغورثی و بسیار بیشتر از فاصله سوم بزرگ طبیعی است و این نکته در هارمونی تیرس خالص براساس فاصله سوم طبیعی مشکل زا است (هارمونی تیرس در سیستم فیثاغورثی رنگهای مختلفی را به دلیل تغییر اندازه بین سوم فیثاغورثی ۶۴/۸۱ وچهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ ( که بسیار نزدیک به سوم طبیعی ۴/۵ است) نشان می دهد و این امر مورد پسند کسانی که به دنبال هارمونی تیرس خالص هستند نمی باشد). در شکل زیر ماتریس فواصل سیستم فیثاغورثی ۱۲ درجه ای که بر اساس چرخه بالارونده ۶درجه ای و چرخه پایین رونده ۵ درجه ای شکل گرفته است مشاهده می شود:

با توجه به شکل بالاو در گام ماژور با تونیکهای E , F# , A و B ٬ سوم بزرگ ما از نوع چهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ به اندازه ۳۸۴.۳۶ سنت است . در مابقی موارد سوم فیثاغورثی وجود دارد.

(اختلاف بین سوم فیثاغورثی ۶۴/۸۱ وچهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ ( که بسیار نزدیک به سوم طبیعی ۴/۵ است) برابر یک کمای فیثاغورثی است ٬ در حالیکه اختلاف بین سوم فیثاغورثی و سوم طبیعی ۴/۵ برابر

کمای سنتونیک یا کمای دیدیموس

۲۱.۵۰۶ سنت است. تفاوت بین کمای فیثاغورثی و کمای دیدیموس را
Schisma

با نسبت ۳۲۷۶۸/۳۲۸۰۵ که برابر ۱.۹۵۳ سنت است می باشد. )
همچنین اگر نت شروع C# باشد ٬ به فاصله چهارم ولف C# - F# و اگر نت شروع F# باشد به فاصله پنجم ولف F# - C# بر می خوریم که این خود باعث حذف این دوگام در مدولاسیونهایی می شود که به پنجم و چهارم درست نیاز است:

آنچنانکه در ماتریس اشاره شده مشخص است با تغیر تونیک (C,C#,D,D#,….) اندازه فواصل تغییر میکند. تغییرات فواصل در سیستم فیثاغورثی تابع ۳ پارامتر است :
۱- اندازه پرده ( بزرگ یا سوم کاسته فیثاغورثی)
۲- اندازه نیم پرده (آپوتوم یا لیما )
۳- ترتیب آرایش این دو فاصله . اصولا سیستم ۱۲ نیم پرده ای فیثاغورثی شکل خاصی از چیدمان ۱۲ نیم پرده آپوتوم ( ۷ عدد) و لیما ( ۵ عدد) است.
به عنوان مثال فاصله پرده بین اندازه پرده بزرگ یا همان دوم بزرگ فیثاغورثی ۸/۹ = ۲۰۳.۹۱ سنت و پرده کوچک یا همان سوم کاسته فیثاغورثی ۶۵۵۳۶/۵۹۰۴۹= ۱۸۰.۴۵سنت نوسان دارد. با توجه به تفاوت آرایش نیم پرده ها ٬ لحن و بیان یک مد خاص با تونیکهای مختلف متفاوت خواهد شد. مثلا گام دو ماژور به دلیل تفاوت اندازه فاصله دوم ٬ سوم و هفتم ٬لحن و هارمونی متفاوتی با سی ماژور در سیستم فیثاغورسی دارد.

با توجه به اهمیت عدد ۳ در این سیستم می توان کلیه فواصل فیثاغورثی را به کمک توان این عدد نیزنشان داد. مثلا فاصله ۲/۳ به صورت عدد ۳ ٬ فاصله ۸/۹ به صورت ۳ به توان ۲ و فاصله ۳/۴ به صورت عدد ۳ به توان ۱- مشخص می شود.

حال باید چرخه فاصله پنجم ۲/۳ بپردازیم . به دو صورت می توان چرخه ایجاد کرد:

۱- چرخه بالارونده
۲- چرخه پایین رونده

چرخه بالارونده محصول جمع متوالی فواصل پنجم است. N بار جمع شدن فاصله پنجم منجر به ایجاد فواصلی به صورت:

می شود که اندازه آنها از محدوده اکتاو فرا تر می رود. برای گنجاندن آنها در اکتاو از مفهوم تعادل اکتاوی یا Octave equivalency استفاده می شود که طی آن با تغییر ضریب عدد ۲ به اندازه مناسب فواصل مورد نظر در یک اکتاو قرار می گیرند.

به عنوان مثال فاصله ۴/۹ را می توان معادل فاصله ۸/۹ (معادل ۱.۱۲۵) در نظر گرفت و یا فاصله ۸/۲۷ ( معادل ۲>۳.۳۷۵) پس از اعمال تعادل اکتاوی برابر ۱۶/۲۷ (معادل ۲<۱.۶۸۷۵) خواهد گشت. در شکل زیر چرخه بالارونده پنجم طبیعی را تا ۱۲ درجه مشاهده می کنیم. با توجه به شکل زیر:

۱- فواصل بزرگ و افزوده فیثاغورثی ٬ نیم پرده آپوتوم یا همان نیم پرده کروماتیک فیثاغورثی در این چرخه ایجاد می شوند.
۲- کمای فیثاغورثی یا کمای دیتونیک Ditonic (دیتون در مکتب فیثاغورث دو برابر فاصله دوم بزرگ یا همان فاصله سوم بزرگ فیثاغورثی است) محصول این چرخه می باشد. درجه ۱۲ چرخه بالارونده نشان دهنده اضافه شدن یک کما به اکتاو است (۱۲۲۳.۴۶ سنت ). فرایند اعتدال موسیقی و تبدیل سیستم فیثاغورثی به سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی ۱۲-EDO محصول حذف کما از این سیستم است که بعدا به آن می پردازیم.

۳- تمام فواصل چرخه بالارونده در محدوده ۳ قرار دارند.

اما چرخه پایین رونده محصول کسر متوالی فواصل پنجم یا جمع متوالی فواصل چهارم درست ۳/۴ است.

به همین دلیل به آن چرخه چهارم ها هم می توان گفت. N بار جمع شدن فاصله پنجم منجر به ایجاد فواصلی به صورت:

می شود که اندازه آنها نیز از محدوده اکتاو فراتر می رود. برای گنجاندن آنها در اکتاو باز هم از مفهوم تعادل اکتاوی یا Octave equivalency استفاده می شود که طی آن که طی آن با تغییر توان عدد ۴ به اندازه مناسب فواصل مورد نظر در یک اکتاو قرار می گیرند.

به عنوان مثال فاصله ۲۷/۶۴ را باید معادل فاصله ۲۷/۳۲ در نظر گرفت. در شکل زیر چرخه پایین رونده پنجم طبیعی را تا ۱۲ درجه مشاهده می کنیم:

با توجه به شکل بالا:
۱- فواصل کوچک و کاسته فیثاغورثی٬ نیم پرده لیما یا همان نیم پرده دیاتونیک فیثاغورثی در این چرخه ایجاد می شوند.

۲- درجه ۱۲ چرخه پایین رونده نشان دهنده کاسته شدن یک کما از اکتاو است (۱۱۷۶.۵۴ سنت). چرخه پایین رونده را می توان در فرایند اعتدال موسیقی و تبدیل سیستم فیثاغورثی به سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی ۱۲-EDO با اضافه کردن کما به این سیستم به کاربرد که بعدا به آن می پردازیم.
۳- تمام فواصل چرخه پایین رونده در محدوده ۳ قرار دارند.
اما با توجه به مباحث بالا ٬ چرخه پنجم ها در سیستم فیثاغورثی دارای ۲۴ درجه متشکل از نیم پرده های کروماتیک و دیاتونیک
بوده که به اختصار به صورت زیر در می آید:

با توجه به آنچه در مورد نمایش فواصل محدوده ۳ عنوان شد ٬ توان صفر ۳ در عدد ۳ گویای فاصله همصدای Unision ۱/۱
می باشد. اعداد سمت راست آن مربوط به چرخه بالارونده و اعداد سمت چپ مربوط به چرخه پایین رونده یا همان چرخه چهارم ها است.

می توان اجتماع این دوچرخه را ساده تر نمایش داد:

ضربان Beating: ضربان تغییر متناوب و ریتمیک حجم صوتی است به دلیل تداخل Interference دو موج صوتی با فرکانس بسیار نزدیک به هم.

میزان این تغییر حجم یا واحد ضربان در واحد ثانیه BPM یا Beat per minute سنجیده می شود و برابر است با تفاوت دو فرکانس. به عنوان مثال دو موج سینوسی ۱۰۰ و ۱۰۴ هرتز ضربانی با سرعت ۴ بار در ثانیه تولید می کنند.

در شکل زیر تغییر متناوب حجم صوتی را به صورت تغییر در شکل موج مشاهده می کنید:

به هنگام کوک دو سیم ساز به صورت همصدا به راحتی می توان متوجه این حالت شد.
دو نت با فرکانس های F۱ و F۲ که F۲>F۱ است را در نظر بگیرید.

این دو صدا نسبت به هم C سنت فاصله داشته و این فاصله به یک فاصله طبیعی F۳=A/B نزدیک می باشد.نحوه محاسبه ضربان بین این دو صدا عیارت است از:

به عنوان مثال ضربان بین دو نت دو و سل که فاصله ۷۰۰ سنت نسبت به هم دارند به شکل زیر محاسبه می شود:
فرکانس نت دو= ۲۶۱.۶۳ Hz
فرکانس نت سل با فاصله ۷۰۰ سنت از نت دو= ۳۹۲.۰۰۲۰۸ Hz

ضربان بین دومین هارمونیک سل و سومین هارمونیک نت دو = l(۳۹۲.۰۰۲۰۸*۲)-(۲۶۱.۶۳*۳)l=۰.۸۸۵۸ BPM

پس بین دومین هارمونیک نت سل و سومین هارمونیک نت دو ضربانی با میزان ۰.۸۸۵۸ BPM ایجاد می گردد.

۲- محدوده Limit: نظریات Harry Partch ۱۹۷۴-۱۹۰۱ در مورد محدوده ها یکی از مطالب جالب در کاربرد فواصل گویا و طبیعی می باشند.

محدوده بزرگترین عدد اولی است که توان غیر صفر داشته و حاصل از تجزیه عدد اصلی می باشد . صورت و مخرج هر کسری را میتوان به اعداد اول تجزیه نمود. اعداد اول ، اعدادی می باشند که به غیر از ۱ و خودش بر عدد دیگری تقسیم نشود. به اعداد زیر دقت کنید :
۰۰۰۰۰،۸۳،۷۹،۷۳،۷۱،۶۷،۶۱،۵۹،۵۳،۴۷،۴۱،۳۷،۳۱،۲۹،۲۳،۱۹،۱۷،۱۳،۱۱،۷،۵،۳،۲

عددی مانند ۱۳ به غیر از ۱ و خودش بر هیچ عدد دیگری قابل تقسیم نمی باشد . اما عدد ۴ بر اعداد ۱، ۲ و ۴ قابل تقسیم بوده بنا براین عدد اول نمی باشد. عددی مانند ۴۵ پس از تجزیه به صورت حاصلضرب مقابل در می آید:

به این ترتیب در ساختار عدد ۴۵ دو عدد اول ۵ و ۳ مشاهده می شوند . بزرگترین عدد اول موجود در ۴۵ که دارای توان غیر صفراست عدد ۵ می باشد بنابراین عدد ۴۵ به محدوده ۵ تعلق دارد . در این محدوده اعداد اول کوچکتر از ۵ قرار می گیرند . مثال دیگر: در محدوده ۱۳ اعدادی قرار می گیرند که در ساختار خود اعداد اول ۳ ، ۵، ۷، ۱۱ و ۱۳ را شامل باشند. فاصله ای مانند ۲۶/۴۵ در محدوده ۱۳ می گنجند.

چرخه پنجم ها (دایره یا زنجیره پنجم ها) و سیستم فیثاغورثی

فاصله پنجم طبیعی ۲/۳(۷۰۱.۹۵۵ سنت) یکی از مهمترین فواصل بنیادی در سیستم فیثاغورثی و دومین فاصله خوش صدای آن است. با ایجاد یک چرخه Cycle یا زنجیره Chain از این فاصله می توان تمام فواصل مورد نیاز این سیستم را بدست آورد.به این فاصله٬ فاصله زاینده Generator می گوییم. باتوجه به کسر ۲/۳ که پس از تجزیه به این صورت تبدیل می شود:

می توان گفت که مدل فیثاغورثی در محدوده ۳ ۳-Limit می گنجد . فواصل ۲/۳ ٬ ۳/۴ ٬ ۸/۹ همگی فواصلی اند که در این محدوده قرار دارند. با توجه به نقش عدد ۳ ٬ می توان فواصل فیثاغورثی را به این فرم نمایش داد:

m می تواند مثبت یا منفی باشد که این امر نتیجه همان چرخه پنجم ها است. توان nام عدد ۲ همواره باید به گونه ای انتخاب شود تا نسبت کسر فواصل محدود به یک اکتاو بین ۱ و ۲ قرار گیرند. به عبارت دیگر:

در کسر ۱/۲ و ۱/۱ توان ۳ صفر می باشد. به این ترتیب ۳ به توان ۳- معرف فاصله سوم کوچک فیثاغورثی ۲۷/۳۲ است :

مقدمه: مسئله نیم پرده های مساوی ذهن موسیقی دانان و تئوریسین های بسیاری را قرنها به خود مشغول نموده است. سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی در بین علاقمندان هارمونی خالص و … با مخالفت روبرو شده و می شود ولی به دلیل مزایای آن امروزه پیانوها را با این سیستم کوک کرده٬ پرده گیتار را بر اساس درجات این سیستم می بندند و … دراین نوشتار سعی بر این است تا به چگونگی ایجاد سیستم ۱۲ قسمتی مساوی یا همان ۱۲ نیم پرده ای مساوی پرداخته شود.

مطالب بنیادین
- فاصله طبیعی interval Just ٬ فاصله گویا Rational و فاصله گنگ Irational : هر فاصله ای که بتوان آن را به صورت کسر نشان داد یک فاصله گویا است. فواصلی مانند ۲/۳ و ۳۳۳/۳۳۴ همگی فواصل گویا هستند. از طرفی طبق مطالعات Vos and Von Vianen-۱۹۸۴ اگراعداد صورت و مخرج کسر کوچک باشند٬ فاصله طبیعی و ملایم ترخواهد بود.

فواصلی مانند ۲/۳ ٬ ۳/۴ ٬ ۱/۲ ٬ ۸/۹ ٬ ۱۳/۱۴ همگی فواصل طبیعی هستند. فواصل گویا و طبیعی با فرکانس ارتعاش و ساختار ایده ال هارمونیکهای صدا همخوانی دارند.

به عنوان مثال اگر فاصله بین دو صدا پنجم طبیعی ۲/۳ باشد (مانند فاصله بین دو نت سل و دو) این بدان معناست که فرکانس نت سل ۱.۵ یا ۲/۳ برابر فرکانس نت دو بوده و همچنین دومین هارمونیک نت سل دارای فرکانسی برابر سومین هارمونیک نت دو است. این مطلب در شکل زیر (سمت راست) نشان داده شده است:

امروزه نرم افزارهای موسیقی فراوان و قدرتمندی در بازار یافت میشوند که با وجود آنها میتوانیم با کمترین هزینه بهترین اجراهای موسیقی و یا پردازشهای صوتی را انجام دهیم اما این مهم و کلآ استفاده هرچه بهتر از یک تکنولوژی نیازمند این است که با علم آن هم آشنا باشیم.

اگر بخواهیم روی یک موج و رفتار آن تحلیل داشته باشیم، مطمئنآ نیاز خواهیم داشت که آن را براساس پارامترهایی تجزیه کنیم و از طرفی با اصول مهندسی صدا هم آشنا باشیم.

در مورد این که چطور میتوان یک موج را تجزیه کرد، در مقاله پیشین تا حدودی صحبت شد و دانستیم که با استفاده از سریهای فوریه یک موج را آنالیز میکنند.

تصویر زیر بیانگر یک تحلیل از موجهای متداول میباشد که در سمت راست هم مقادیر مربوط به ضرایب فوریه را برای آن حساب کرده ایم:

اگر به فرمول فوریه توجه کنید، ملاحظه میفرمایید که به نوعی فرکانس (f) رول اصلی را در آن ایفا میکرد و در تصویر هم با همین فرکانس موج ها را تحلیل کردیم و مثلآ گفتیم فلان موج از فرکانس f این مقدار و از فرکانس دو برابر f این مقدار را دارد و الی آخر. خب پس تا اینجا متوجه شدیم اصل تعریف هارمونی برای یک موج در کجا نهفته بود؛ یک فرکانس پایه!

اگر بخواهیم این موضوع را تعریف علمی کنیم باید این طور بگوییم که: طبق قضیه فوریه ثابت میشود که موجهای پیچیده و مختلط آکوستیکی را که توسط سازها پدید می آیند را میتوان به یک فرکانس اصلی و یک سری هارمونیکها که دامنه بعضی ممکن است بسیار بزرگ باشد -حتی بزرگتر از دامنه فرکانس اصلی است- تجزیه کرد.

نتیجتآ جستجو برای پیدا کردن علت صداهای هارمونیک به فرکانس مبنا (Fundamental Frequency) برمیگردد.

ویژگی های فرکانس مبنا:
- تمام صداهای موسیقایی از یک فرکانس مبنا (پایه) ساخته شده اند.

- فرکانس مبنا در مجموعه فرکانسهای متناسب که به آن هارمونیک میگوییم، جایگاه کمترین فرکانس مجموعه را دارد.

- چون کمترین فرکانس را دارد، نتهای فرعی (Overtones) را در درون خود جای داده.

- در حقیقت شخصیت سازی و رنگ آمیزی اصلی در صدا بعهده آن (فرکانس مبنا) است.

حال اگر طبق فرمول جلو برویم میتوانیم بگوییم، اگر فرکانسهای تجزیه شده ای که بدست آوردیم به شکل مضرب درستی از فرکانس پایه باشند، جزو هارمونیکها (فرکانسهای متناسب) هستند.

اجازه بدهید بحث را باز تر کنیم، مثلآ فرض کنید صدایی با فرکانس ۴۴۰هرتز ایجاد کرده ایم، این فرکانس۴۴۰ هرتز همان فرکانس مبنا حساب میشود که همان هارمونیک اول از هارمونیکها (مجموعه فرکانسهای متناسب) است؛ هارمونیک دوم باید ۲ برابر فرکانس مبنا باشد که در اینجا میشود ۸۰۰ هرتز و هارمونیک سوم باید سه برابر هارمونیک اول باشد که معادل ۱۳۲۰ هرتز، همینطور هارمونیک چهارم ۴برابر فرکانس پایه است و الا آخر؛ که با یک جمع بندی در این مثال داریم:

هارمونیک اول : ۱f ~ ۴۴۰Hz fundamental frequency
هارمونیک دوم : ۲f ~ ۸۸۰ Hz

هارمونیک سوم : ۳f ~ ۱۳۲۰ Hz

برای توجیه بهتر به این شکل توجه کنید (six overtones or partials):

همانطور که ملاحظه میکنید لزومآ نباید دامنه هارمونیکها ی بالاتر کمتر از بقیه یا فرکانس پایه باشد اما در حالت طبیعی مثل کشیدن یک سیم یا دمیدن در ستون هوا معمولآ این اتفاق می افتد و مثلآ دامنه هارمونیک دهم خیلی کوچکتر از دامنه هارمونیک سوم میشود چرا که انرژی هارمونیک با شماره هارمونیک بصورت معکوس تغییر میکند؛ هرچند میگوییم از لحاظ تئوری تا بینهایت هارمونیک وجود دارد اما در تجزیه صوت به تعداد محدودی از آنها بسنده میکنیم.

همان طور که به تصاویر زیر نگاه میکنید سعی کنید یک ارتباط بین شماره هارمونیک ها، تعداد گره و طول موج هم پیدا کنید. مطمئنآ این ها تصادفی نیستند:

اگر توان هر هارمونیک افزایش یابد، صدا بلند تر میشود؛ این درحالی است که در هارمونیک های بلندتر شاهد افزایش بیشتری نسبت به دیگر هارمونیکها هستیم. با این تغییر که در بلندی ایجاد میشود، مشاهده میکنیم که رنگ صدا هم عوض شده و در اصطلاح شفافتر یا برنزه تر شده است.

به عنوان مثال در مورد شکل زیر ملاحظه میکنید که:
- موج پایین از مجموع موجهای شکل بالا حاصل شده.
- فرکانس موج مبنا با فرکانس موج حاصل برابر است. (f )
- به فرکانس و دامنه هارمونیکها دقت داشته باشید.

-در مورد اینکه دامنه موج حاصل بیشتر از امواج آنالیز شده است، چه فکری میکنید؟

احساس فرکانس در یک تن مرکب (complex tone) که هارمونیکها و فرکانسهایی بیشتر از صوت اصلی دارد، تنها تابع کمترین فرکانس نیست بلکه تابع فرکانسها و دامنه های صوتهای دیگر نیز هست.

اگر تن مرکبی داشته باشیم که شامل فرکانسهای ۱۰۰، ۲۰۰ ،۳۰۰،۴۰۰ و ۵۰۰ هرتز باشد و همه آنها یک بلندی داشته باشند، ارتفاع در موج مرکب ۱۶۰ مل است - مل یک واحد برای اندازه گیری ارتفاع صداست - و اگر فرکانس ۱۰۰ هرتزی را از این مجموعه فیلتر کنیم، ارتفاع موج مرکب باز هم ۱۶۰ مل میشود و این مسئله و مسائل مشابه آن نشاندهنده این موضوع است که ارتفاع به هارمونیک اول مربوط نیست، از طرفی به هیچ کدام از هارمونیکهای دیگر هم بطور منفرد مربوط نمیشود. ارتفاع یک سری کامل از هارمونیکها که همگی دارای یک بلندی هستند بوسیله حداقل تفاضل فرکانسها تعیین میشود، نه بوسیله کمترین فرکانس میان آنها.

در نظر داشته باشید که تا اینجا، بحث روی این محور بود که هارمونیکها مضرب صحیحی از فرکانس مبنا باشند ولی در صورتی که هارمونیکها مضرب صحیحی از فرکانس مبنا نشد، باید به این موارد توجه داشته باشید که تکیه گاه سیم روی ساز و به بیان بهتر فیدبک امواج روی کاسه ساز و همچنین ضخامت سیم را هم در کار لحاظ کنید.

در مقاله های بعدی این بحث را به موسیقی تعمیم داده و سعی میکنم به سوالاتی که در رابطه هارمونیک و تئوری موسیقی مطرح میشود بپردازم.

آیا میتوان در نواحی کوهستانی (HighLand) اسکاتلند سه گاه را شنید؟ البته که می شود! بد نیست بدانیم که نی انبان های کوهستانهای اسکاتلند گامهایی را به گوش می رسانند که میکروتونال بوده و فواصل بعضی از آنها دقیقاً منطبق بر دستگاههای خودمان می باشد.

نگاهی کلی به سازشناسی نی انبان:

نی انبان سازی بادی است که در ساده ترین شکل خود از قسمتهای زیر تشکیل شده است:

۱- Blow Pipe یا لوله دمیدنی
۲- Chanter یا لوله صوتی
۳- Bag یا انبان

در این ساز هوا از طریق لوله دمیدنی وارد انبان شده بدون آنکه برگشتی به خارج از آن داشته باشد. سپس با فشار بازوان نوازنده به انبان هوای لوله صوتی مرتعش شده و نوازنده قادر به نواختن ساز می گردد.

نی انبان از نظر رده بندی جزء سازهای بادی زبانه دار ترکیبی می باشد.

در نی انبان های مدرن علاوه بر بخشهای موجود، می توان لوله های واخوان را مشاهده نمود(Drone). این لوله ها، تامین کننده صداهای پدال بوده که یکنواخت و ممتد به گوش می رسند. لوله های واخوان دارای زبانه (Reed) بوده و طول های مختلف دارند. بعنوان مثال در نی انبان نواحی کوهستانی اسکاتلند می توان لوله های واخوان باس و تنور را مشاهده نمود. لوله صوتی (Chanter) به دو شکل متفاوت مشاهده می شود: استوانه ای مانند کلارینت با انتهای مخروطی شکل خود و با یک زبانه یا مخروطی مانند ابوآ با زبانه دوبل.

لوله های واخوان نیز استوانه ای زبانه دار بوده و از چند تکه ساخته شده اند تا بتوان آنها را کوک نمود.

نی انبان های نواحی کوهستانی اسکاتلند:

در اسکاتلند چهارگونه نی انبان مشاهده میگردد:

۱- نی انبان های نواحی مرتفع و کوهستانی

۲- نی انبان های نواحی پست

۳- نی انبان های کوچک Northumbrian

۴- نی انبان های ایرلندی Hybrid union

نی انبان کوهستانی اسکاتلند تا قرن ۱۶ در موسیقی نظامی کاربرد داشته است. در این ساز، انبان از جنس پوست گوسفند بوده که به آن سه لوله واخوان، یک لوله صوتی و یک لوله دمیدنی وصل شده است. دو عدد از لوله های واخوان یک اکتاو بم تر از نت A لوله صوتی بوده درحالیکه لوله واخوان بلندتر دو اکتاو بم تر از نت A می باشد . لوله صوتی از نوع مخروطی بوده و دارای هشت سوراخ می باشد.

ساختار فواصل در نی انبان های نواحی کوهستانی اسکاتلند:

فواصل موجود در لوله صوتی نی انبان توالی زیر را نشان می دهند که در فاصله نهم بزرگ می گنجند:

G A B C# -D E F# -G A (علامت منفی نشاندهنده کمتر بودن فاصله است)

با اینحال تعدادی از این فواصل در توالی ۱۲ نیم پرده (در هر سیستم کوک که فرض شود) نگنجیده و به حالت میکروتن در آمده اند. بعضی از انواع نی انبان در فاصله نهم بزرگ خود چندین گونه گام را به نمایش می گذارند. یکی از این گام ها دارای توالی زیر است :

از مجله “هنر و موسیقی”