آفرینندگی اعداد (۲)

با این توضیح دسته نت های فوق نغمگی به تصاعد حسابی فرکانس ها با قدر نسبت ۲ و دسته نت های مادون نغمگی به تصاعد حسابی طول موج (معکوس فرکانس) با همان قدر نسبت بستگی دارند. تصاعد حسابی اعداد با قدر نسبت دو، سری اعداد ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳ و … را به دست می دهد. در جدول زیر نسبت فرکانسی دسته نت های فوق و مادون نغمگی در محدوده یک اکتاو ارائه شده است.

هری پاچ برای تدوین سیستم فواصل از یک دیاگرام دو بعدی حاوی فواصل کسری استفاده کرد. این دیاگرام که «لوزی نغمگی» (Tonality Diamond) نام دارد، توسط «ماکس فردریش می یر» (Max Friedrich Meyer) ابداع شده است.

با توجه به لوزی نغمگی سیستم ، پاچ عنوان کرد که فواصل مندرج در ضلع سمت راست پایین لوزی تریاد ماژور و فواصل مندرج در ضلع سمت چپ پایین تریاد مینور را نشان می دهند. اما در مورد تریاد مینور باید گفت اگر نت پایگی تریاد را روی نت ۱:۱ قرار دهیم، آکورد حاصله تریاد مینور نخواهد بود. به همین جهت پاچ بیان می کند که برای رسیدن به تریاد مینور پایگی باید بر روی نت ۴:۳ قرار گیرد.

همچنین در سیستم هایی که با استفاده از لوزی نغمگی ایجاد می شوند، معمولا فواصل بزرگی به وجود می آید. پاچ عقیده داشت این فواصل بزرگ باید به فواصل کوچکتری تقسیم شوند. برای این کار با استفاده از ضرب نسبت های سیستم در یکدیگر، نسبت هایی جدید در میان فواصل بزرگ به دست می آید. باید دقت کرد که اولا این نسبت ها حاوی اعداد اول بزرگتر از n نباشند و ثانیا تقارن سیستم را بر هم نزنند. برای مثال برای سیستم :

پاچ با استفاده از لوزی نغمگی و اضافه کردن فواصلی در بین فاصله های بزرگ، سیستم ۴۳ قسمت نامساوی اکتاو، موسوم به را بنا نهاد. وی دلایل استفاده از را در سه دسته «روانشناختی» ، «هارمونیک» و «تاریخی» ارائه داد.

از لحاظ روانشناختی پاچ با استناد به آزمایشات تجربی و کار با افراد مختلف در اجرای موسیقی، اعلام کرد که اکثریت قریب به اتفاق شنونده ها فاصله ۱۴.۴ سنتی که کوچکترین فاصله در سیستم می باشد را به راحتی تشخیص و تمیز می دهند.

از لحاظ هارمونی ها پاچ به عدم ملایمت در تریادها و آکوردها اشاره می کند. برای مثال عدم حضور فواصل ملایم ۵:۴ و ۶:۵ در تریادهای ماژور و مینور را نشان دهنده ضعف سیستم تعدیل یافته می داند. از طرف دیگر وی برای ارجحیت دادن به سیستم مثال های از نزدیکی فواصل این سیستم با فواصل «موسیقی امروز» می آورد. فواصلی مثل ۹:۸ و ۱۶:۹.