سیستم فیثاغورثی و اعتدال مساوی (IV)

اعداد ۱۲ و ۱۲- مرز های Boundary چرخه یا تعداد جمع شدن و کم شدن پنجم ها یا به عبارت صحیح تر بالا و پایین رفتن از نردبان پنجم ها را نشان می دهد . در این شکل جایگاه درجات مختلف چرخه های بالارونده و پایین رونده پنجم در ساختار گام ۲۴ قسمتی نامساوی دیاتونیک – کروماتیک فیثاغورثی نشان داده شده است :

اعتدال در سیستم فیثاغورثی
اعتدال یا Temperament به معنای تغییر تعدادی از فواصل است به گونه ای که سیستم به حداکثر کارایی خود از نظر هارمونی و مدولاسیون به بهای فدا شدن خلوص هارمونیک برسد. تبدیل فاصله پنجم طبیعی ۲/۳ با اندازه ۷۰۱.۹۵۵ سنت به فاصله پنجم ۷۰۰ سنتی که مبنای ایجاد اعتدال ۱۲ نیم پرده مساوی است مثالی از این تغییرات اعتدالی است.

اما چرا سیستم فیثاغورثی به سمت اعتدال پیش رفت ؟ باید گفت که مهمترین ضعف سیستم فیثاغورثی در آن است که چرخه بالارونده یا پایین رونده پنجم ها هیچگاه به اکتاو درست Perfect Octave ختم نمی شود و همان طور که دیدیم در انتهای سیکل بالارونده ۱۲ درجه ای به فاصله ۱۲۲۳.۴۶ سنتی می رسیم که در واقع اکتاوی است که به آن یک کمای فیثاغورثی اضافه شده است و شکل واقعی چرخه پنجم را به مارپیچ پنجم ها Helix of fifths تبدیل می کند:

همان طور که در شکل بالا مشخص است ٬ به دلیل مارپیچی بودن توالی پنجم ها و وجود اختلاف به اندازه یک کما بین نیم پرده های آنارمونیک این سیستم ٬ هیچ گاه فواصلی مانند B# با C و Dbb یا G# با Ab و F## برابر نیستند.

با فرض اکتاو ۱۲۰۰ سنتی ٬ طبیعتا مقداریک کما از یکی از درجات چرخه کسر می گردد که این خود باعث می شود مقدار سنت یکی از پنجمها در چرخه بالارونده به ۶۷۸.۴۹۵ تبدیل شود . در تئوری فواصل ٬ به این فاصله پنجم ولف Wolf می گویند ( اصولا با کسر و یا اضافه شدن مقدار کما از فاصله پنجم و چهارم ٬ فاصله پنجم یا چهارم Wolf ایجاد می شود).

اگر تعداد درجات چرخه بالارونده را M فرض کنیم ٬ موقعیت پنجم ولف در چرخه پنجم ها بین درجات M و M+1 است. مثلا در سیستم ۱۲ درجهای فیثاغورثی ٬ ناشی از چرخه پنجم بالارونده ۸ درجه ای ( و طبیعتا پایین رونده ۳ درجه ای ) ٬ پنجم ولف بین درجات ۸ و ۹ قرار دارد یعنی فاصله G# – Eb ٬ اما فواصل G# – D# یا Ab – Eb پنجم درست می باشند :

مثال دیگر: در شکل رایج سیستم فیثاغورثی ۱۲ درجه ای که بر اساس چرخه بالارونده ۶درجه ای و چرخه پایین رونده ۵ درجه ای

شکل گرفته است ٬ پنجم Wolf بین C# وF# )درجات ۶ و ۷ ) قرار دارد. سیستم فیثاغورثی بیشتر در فرهنگهای موسیقایی مبتنی بر فواصل پنجم مانند موسیقی خاور میانه و یا موسیقی دوران قرون وسطی اروپا کاربرد داشته و دارد. فاصله سوم بزرگ آن در اکثرکلیدها فیثاغورثی و بسیار بیشتر از فاصله سوم بزرگ طبیعی است و این نکته در هارمونی تیرس خالص براساس فاصله سوم طبیعی مشکل زا است (هارمونی تیرس در سیستم فیثاغورثی رنگهای مختلفی را به دلیل تغییر اندازه بین سوم فیثاغورثی ۶۴/۸۱ وچهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ ( که بسیار نزدیک به سوم طبیعی ۴/۵ است) نشان می دهد و این امر مورد پسند کسانی که به دنبال هارمونی تیرس خالص هستند نمی باشد). در شکل زیر ماتریس فواصل سیستم فیثاغورثی ۱۲ درجه ای که بر اساس چرخه بالارونده ۶درجه ای و چرخه پایین رونده ۵ درجه ای شکل گرفته است مشاهده می شود:

با توجه به شکل بالاو در گام ماژور با تونیکهای E , F# , A و B ٬ سوم بزرگ ما از نوع چهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ به اندازه ۳۸۴.۳۶ سنت است . در مابقی موارد سوم فیثاغورثی وجود دارد.

(اختلاف بین سوم فیثاغورثی ۶۴/۸۱ وچهارم کاسته فیثاغورثی ۶۵۶۱/۸۱۹۲ ( که بسیار نزدیک به سوم طبیعی ۴/۵ است) برابر یک کمای فیثاغورثی است ٬ در حالیکه اختلاف بین سوم فیثاغورثی و سوم طبیعی ۴/۵ برابر کمای سنتونیک یا کمای دیدیموس ۲۱.۵۰۶ سنت است. تفاوت بین کمای فیثاغورثی و کمای دیدیموس را Schisma با نسبت ۳۲۷۶۸/۳۲۸۰۵ که برابر ۱.۹۵۳ سنت است می باشد. ) همچنین اگر نت شروع C# باشد ٬ به فاصله چهارم ولف C# – F# و اگر نت شروع F# باشد به فاصله پنجم ولف F# – C# بر می خوریم که این خود باعث حذف این دوگام در مدولاسیونهایی می شود که به پنجم و چهارم درست نیاز است:

فاصله پنجم ولف F# -C#

فاصله چهارم ولف C# -F#

آنچنانکه در ماتریس اشاره شده مشخص است با تغیر تونیک (C,C#,D,D#,….) اندازه فواصل تغییر میکند. تغییرات فواصل در سیستم فیثاغورثی تابع ۳ پارامتر است :
۱- اندازه پرده ( بزرگ یا سوم کاسته فیثاغورثی)
۲- اندازه نیم پرده (آپوتوم یا لیما )
۳- ترتیب آرایش این دو فاصله . اصولا سیستم ۱۲ نیم پرده ای فیثاغورثی شکل خاصی از چیدمان ۱۲ نیم پرده آپوتوم ( ۷ عدد) و لیما ( ۵ عدد) است.
به عنوان مثال فاصله پرده بین اندازه پرده بزرگ یا همان دوم بزرگ فیثاغورثی ۸/۹ = ۲۰۳.۹۱ سنت و پرده کوچک یا همان سوم کاسته فیثاغورثی ۶۵۵۳۶/۵۹۰۴۹= ۱۸۰.۴۵سنت نوسان دارد. با توجه به تفاوت آرایش نیم پرده ها ٬ لحن و بیان یک مد خاص با تونیکهای مختلف متفاوت خواهد شد. مثلا گام دو ماژور به دلیل تفاوت اندازه فاصله دوم ٬ سوم و هفتم ٬لحن و هارمونی متفاوتی با سی ماژور در سیستم فیثاغورسی دارد.