فواصل و گام فیثاغورثی

فاصله و گام

به طور کلی گام مجموعه ای است از اصوات که فواصل موسیقایی آنها در اکثر اوقات بین ۲ عدد ۱ و ۲ قرار می گیرد. عدد ۱ که اولین درجه گام است پایگی نام داشته و عدد ۲ اکتاو آن است که قاعدتا گام با آن بسته می شود. فرکانس اکتاو ۲ برابر پایگی است :
F2 = 2 × F 1

اکتاو را می توان به اشکال متفاوت تقسیم نمود . مثلا ۱۲ قسمت مساوی که همان گام ۱۲ نیم پرده مساوی است ، ۲۴ قسمت مساوی که گامی ۲۴ ربع پرده مساوی است و …

اگر گام را به ۱۲۰۰ قسمت مساوی تقسیم نماییم به یکی از واحدهای اندازه گیری فاصله درموسیقی دست می یابیم. این واحد سنت CENT نام داشته و با علامت C نمایش داده می شود.

نسبت فاصله موسیقی عبارت است از نسبت فرکانس ۲ نت نسبت به یکدیگر که معادل عددی است بین ۱ و ۲ به گونه ای که :

R=F2/F1 F1 ≤F2
هر فاصله موسیقی را می توان به سنت تبدیل نمود :
به این ترتیب بین پایگی و اکتاو ۱۲۰۰ سنت و بین دو نت با فاصله پنجم فیثاغورثی (۵/۱ = (R701.9 سنت و بین دو نت با فاصله ۵ در گام ۱۲ قسمتی مساوی ۷۰۰ سنت فاصله وجود دارد.

این نسبتها در واقع بخشی از بی نهایت فاصله موجود در یک گام می باشند چرا که می توان با کوچک کردن میزان سنت بین فواصل آن ها را به هم متصل نمود :

گام فیثاغورثی

فیثاغورث (تولد حدود ۵۶۹ قبل از میلاد در Samos, Ionia ، وفات حدود ۴۷۵ قبل از میلاد)

محل زندگی فیثاغورث در یونان
فیثاغورث به عنوان یک ریاضی دان یونانی تدوین گر نحوه تعیین فواصل و گام موسیقی بر اساس نسبت طولی سیم های کوک شده با فاصله پنجم است. با توجه به پیشرفت ریاضی و موسیقی در مصر و بین النهرین او مطمئنا تحت تاثیراصول موسیقی آموخته شده از مصر و بین النهرین قرار گرفته و بنیاد تئوری خود را بنا نهاده است.

فیثاغورث گام موسیقی را یکی از عناصر ساختاری افلاک می دانست و برای افلاک نوعی آرمونی قائل بود.

همانطور که قبلا ذکر شد، گام فیثاغورث ناشی از ایجاد فواصل پنجم متوالی از یک نت اولیه است. به این ترتیب به دایره ای از فواصل پنجم می توان دست یافت. در شکل زیر دایره فواصل پنجم بر اساس نت دو C در گام ۱۲ نیم پرده مساوی مشاهده می شود:

همانطوریکه در شکل بالا مشاهده می شود با حرکت از نت دو به نت سل و بعد به نت ر و نت های دیگر می رسیم . دایره پنجم ها را می توان به صورت زیر نیز نشان داد
همانگونه که در این اشکال مشاهده می شود فواصل موسیقایی موجو د در کادر همگی تشکیل دهنده یک گام دیاتونیک می باشند. در این گام ۳ فاصله متفاوت وجود دارد:
– پرده L : با نسبت ۹:۸ معادل ۲۰۳٫۹۱ سنت .
– نیم پرده دیاتونیک S یا لیما: با نسبت ۲۵۶:۲۴۳ معادل ۹۰٫۲۲۵ سنت. لازم به ذکر است که نیم پرده دیاتونیک بین نت های غیر همنام مانند می و فا مشاهده می شود. (شکل بالا سمت چپ).نیم پرده دیاتونیک را دوم کوچک نیز می نامند و با علائمی مانند min2, m2, b2 نمایش می دهند.
– نیم پرده کروماتیک یا آپوتوم: اختلاف بین S و L ک معادل ۱۱۳٫۶۸۵ سنت یا معادل نسبت ۲۱۸۷:۲۰۴۸ است.

نحوه محاسبه فواصل فیثاغورثی
همانطور که در بالا عنوان شد فواصل فیثاغورثی همگی از تاثیر فاصله پنجم به صورت متوالی و زنجیروار حاصل می شوند. اگر نت پایه را با نسبت ۱:۱فرض کنیم داریم :
جدول بالا نشاندهنده فواصلی مانند ۳:۲ ، ۸۱:۶۴ ، ۹:۸ ، ۴:۳ ، و غیره است. لازم به ذکر است در ۲ نسبتی که صورت یکی با مخرج دیگری مساوی است رابطه زیر برقرار است:
نسبت کوچکتر= نسبت بزرگتر ÷ ۲
به عنوان مثال :
۴:۳= ۳:۲ ÷ ۲
در جدول زیر فواصل فیثاغورثی را در یک گام دیاتونیک مشاهده می نمایید :
همچنانکه در جدول بالا مشاهده می شود فواصل نیم پرده ای کروماتیک FA# و Sib وجود ندارند. اصولا در این گام فواصلی مانند D# و Eb باهم برابر نیستند. میزان اختلاف این دو فاصله نیم پرده ای غیر همجنس معادل زیر است :
کومای فیثاغورثی = نیم پرده دیاتونیک(لیما) – نیم پرده کروماتیک(آپوتوم)
۲۳٫۴۶سنت = ۹۰٫۲۲۵- ۱۱۳٫۶۸۵

رابطه گام فیثاغورثی و گام ۵۳ قسمتی مساوی
با توجه به آنکه پرده فیثاغورثی متشکل از لیما و آپوتوم است و با فرض روابط زیر:
پرده بزرگ = آپوتوم + لیما
آپوتوم = لیما + کما
لیما ~ کما ×۴
می توان نوشت :
پرده بزرگ ~ کما × ۹
۵۳ کما ~ ۵ پرده بزرگ + ۲ لیما = اکتاو
به این ترتیب گام فیثاغورثی تقریبا معادل گام ۵۳ کمایی است . با فرض کما معادل ۲۲٫۶۴۱ سنت ، گام ۵۳ قسمتی مساوی شکل می گیرد که هر درجه آن برابر با ۲۲٫۶۴۱ سنت است. در جدول زیر رابطه گام فیثاغورثی و ۵۳ قسمتی مساوی نشان داده شده است :





با توجه به مقایسه درجات دو گام و فواصل آنها برحسب سنت می توان فهمید که گام ۵۳ قسمتی مساوی جایگزین بسیار مناسبی برای گام فیثاغورثی است .

در همین جا لازم است کمای مرکاتور ( معادل ۳٫۱۶۵ سنت ) که کمای دیگری در گام فیثاغورثی است معرفی شود . قبلا گفته شد که هر ۴ کما تقریبا معادل یک لیما است :

کمای مرکاتور (MERCATOR) = لیما – ۴ کما
۳٫۶۱۵ = ۹۰٫۲۲۵ – ۹۳٫۸۴

تفاضل درجاتی از گام فیثاغورثی مانند ۴-۹- ۱۵-۲۰ با درجات قبلی خود دقیقا معادل کمای مرکاتور است. در شکل زیر مقایسه بین درجات گام ۵۳ قسمتی مساوی و گام ۱۲ قسمتی مساوی را مشاهده می نمایید. جدول فوق دارای ۱۲ ردیف است که هر ردیف آن معادل ۱۰۰ سنت می باشد :
اشکالات سیستم فیثاغورثی

از آنجا که این سیستم زنجیره ای از فواصل پنجم را نشان می دهد ، در انتهای این زنجیره ناهمگنی در انطباق فواصل مشاهده می شود. به عنوان مثال اگر زنجیره پنجم را با نوت C شروع کنیم داریم :
C-G-D-A-E-B-F#-C#-G#-D#-A#-E#-B#
B# و F# باید آنارمونیک C و F باشند اما اندکی متفاوتند . به همین خاطر در این سیستم به هنگام اجرای مثلا یک پاساژ کروماتیک مشکل مشاهده می شود .همچنین در مدولاسیون بین کلیدهای مختلف نیاز به نیم پرده های آپوتوم و لیما است.

از مشکلات دیگر این سیستم آن است که فواصلی مانند Eb-G# چهارم درست نبوده و تحت عنوان فاصله چهارم WOLF نامیده می شوند. فاصله چهارم WOLF از فاصله چهارم درست یک کما (۲۴ سنت) بیشتر است :
(Eb-G#)=(D#-G#)+24c

همچنین فاصله پنجم WOLF در این سیستم ناشی از کاسته شدن یک کما از فاصله پنجم درست می باشد :
(G#-Eb)=(Ab-Eb)-24c

لغت WOLF احتمالا مربوط به سونوریته ارگ های بادی اولیه است که به هنگام نواختن چنین فواصلی به گوش شنوندگان شبیه صدای زوزه گرگ به نظر می رسد.

احتمالا تغییرات در ساختار سیستم فیثاغورثی از قرن ۱۴ میلادی شروع شده است. دراین زمان جایگاه نیم پرده های آپوتوم و لیما عوض شده و به صورت زیر در آمد :

(C) 90 –(C#/Db)– ۱۱۴ (D)
با گذشت زمان انواع سیستم های اعتدال نیز ابداع گردید تا بتوانند نقائص این سیستم را بر طرف نمایند.این امر در نهایت به سیستم اعتدال ۱۲ نیم پرده مساوی انجامید که در قبل ذکر گردید.

17 دیدگاه

  • Dr S
    ارسال شده در شهریور ۵, ۱۳۸۵ در ۹:۱۶ ب.ظ

    aalist.

  • saeed1922
    ارسال شده در شهریور ۷, ۱۳۸۵ در ۲:۰۷ ب.ظ

    بابا یه خورده آروم تر ! فهمیدن اینها یه خورده به زمان نیاز داره!

  • babak
    ارسال شده در شهریور ۸, ۱۳۸۵ در ۸:۲۴ ب.ظ

    khaste nabashid. kheili mofid bood

  • ناشناس
    ارسال شده در شهریور ۲۴, ۱۳۸۵ در ۲:۵۸ ق.ظ

    اینا رو تو دانشگاه موسیقی هم یاد می دن؟؟؟ واقعا یه دنیاییه…

    من از ریاضی فراریم و عاشق موسیقی.. می بینم که باید ریاضی رو خوب بلد باشم تا موسیقی رو خوب یاد بگیرم…

  • keivan
    ارسال شده در شهریور ۲۵, ۱۳۸۵ در ۱۰:۲۶ ب.ظ

    baba dametoon garm in noskheye ghabele chap ke on balast kheili bahale

  • محمد رضا
    ارسال شده در دی ۲۲, ۱۳۸۵ در ۱۰:۲۲ ب.ظ

    واقا عالیست .متاسفانه موسیقی اصیل را با موزیکهای یک شبه عوض کردن .من فیزیک خوندم ÷ معرکه است این سایتتون

  • ناشناس
    ارسال شده در فروردین ۷, ۱۳۸۶ در ۱۲:۴۳ ق.ظ

    fogholadas. baraye man ke kheili mofid bud.

  • en.k
    ارسال شده در فروردین ۷, ۱۳۸۶ در ۱۲:۴۴ ق.ظ

    fogholadas. baraye man ke kheili mofid bud.

  • ارسال شده در شهریور ۲۴, ۱۳۸۷ در ۳:۱۲ ب.ظ

    nazarate ostad Kiani ra besyar mipasandam

  • ناشناس
    ارسال شده در بهمن ۲, ۱۳۸۷ در ۹:۱۵ ب.ظ

    ممنون ولی واقعا سنگینه

  • یوسف
    ارسال شده در مهر ۲۷, ۱۳۸۸ در ۱۱:۲۸ ب.ظ

    به نظر من موسیقی از هر علمی بهتره. چون هم فیزیکه هم ریاضیه هم فلسفه ست هم پزشکیه هم معارفه و خیلی چیزای دیگه.
    از مطالبی که مینویسید خیلی خوشم میاد بیشتر اطلاعات داشته باشم. ادامه بدید. دستتون درد نکنه…

  • shayan
    ارسال شده در دی ۲۵, ۱۳۸۸ در ۱۰:۵۵ ق.ظ

    mamnon kheili baram mofid bood

  • Yekta
    ارسال شده در بهمن ۲۵, ۱۳۸۸ در ۵:۱۳ ب.ظ

    سایت جامع و کاملیه،لذت بردیم.موفق باشید

  • مازیار
    ارسال شده در مهر ۲, ۱۳۹۰ در ۸:۰۸ ق.ظ

    چه میکنه این مقالات هارمونی تاک –
    واقعاً مقالات این سایت هم از لحاظ کمیت ه م کیفیت خوبن – دمتون جمیعاً گرم

  • مهران
    ارسال شده در آبان ۱, ۱۳۹۲ در ۹:۴۴ ق.ظ

    با سلام.واقعا که مرسی .بسیار از این مقاله خوشم اومد.کاملا مفید برای همه اونایی که میخوان موسیقی را با تلاش فراوان دنبال کنند همچین مجموعه ها و مقالاتی خیلی خیلی به درک اونها از موسیقی میانجامد.لینک های فراوون دیگه ای رو هم دیدم که حتما به اونها سر میزنم

  • سینا
    ارسال شده در مرداد ۱, ۱۳۹۳ در ۴:۴۱ ب.ظ

    عالی بود اینو میگن ارتباط موسیقی با ریاضی!!

  • ناشناس
    ارسال شده در مرداد ۵, ۱۳۹۵ در ۱۲:۰۳ ب.ظ

    سلام
    دوست عزیز لطفا با یک موسیقی دان مشورت کنید و با همکاری ایشان این مسائل را توضیح دهید
    ظاهرا شما فیزیکدان هستید

    ممنون

ارسال دیدگاه

رایانامهٔ شما نمایش داده نخواهد شد.

نگرشی به تجدد طلبی در هنر و فرهنگ ایرانِ قرن بیستم (XIX)

تنها درویش خان تا حدودی با وزیری تفاهم داشت و برای شنیدن کنسرت ها و خطابه های او به مدرسه خصوصی اش می رفت. اما قبل از این که این رابطه و تفاهم ثمری به بار آورد – و قبل از ریاست اول وزیری در مدرسه موزیک (۱۳۰۷)، درویش خان فوت شد (۱۳۰۵). بعد از فوت او تجدد طلبی به کشمکش بین وزیری و مین باشیان ها یا «موسیقی نوین و علمی ایرانی» با «موسیقی بین المللی و علمی» محدود ماند.

«شیوه‌ی نوازندگی» در موسیقی ما چه معنایی دارد؟ (I)

اگر در موسیقی کلاسیک غربی کار می‌کنیم دادن جواب همه‌فهم به این سوال نسبتا ساده است. یعنی روشی که هر نوازنده آثار را می‌نوازد. بخشی به رابطه‌ی فیزیکی‌ای که یک نوازنده با سازش دارد مربوط است، یعنی مسائلی مثل روش دست گرفتن ساز یا پشت ساز نشستن، نحوه‌ی انگشت گذاشتن، انتقال نیرو به ساز (تقریبا اِکول) و … بخشی هم به مسایل صوتی، مثل صدایی که از ساز درمی‌آورد، دامنه‌ی شدت و ضعف‌هایی که می‌تواند به هر نت یا پاساژ بدهد، شیوش‌های مختلفی که می‌تواند هنگام نواختن هر نغمه یا تکنیک ایجاد کند و بخشی هم به مسایل تکنیکی مثل دامنه‌ی ویبراتوها و از این قبیل.

از روزهای گذشته…

گری مور

گری مور

رابرت ویلیام گری مور متولد چهارم آوریل سال ۱۹۵۲ در بلفاست، از شهرهای شمالی ایرلند، نوازنده گیتار و خواننده موفق دهه شصت که با گروههایی چون Thin Lizzy ، Colosseum II و Skid Row همکاری داشته است.
موسیقی و معنا (V)

موسیقی و معنا (V)

در اواخر قرن هفدهم و اوایل قرن هجدهم، معنای موسیقی عموماً در هیجانات و تمایلات بشری جست‌وجو می‌شد. در آن دوره تصور بر آن بود که یک قطعه‌ی مستقل باید احساس یا میل ویژه‌‌ای را در حالت و قالبی متناسب با آن بیان و منتقل کند. گرچه ساختارهای موسیقایی به خودی خود اهمیت بیشتری پیدا کردند، نزدیکی موسیقی با فن بلاغت، به سبب انعکاس الگوهای عروضی زبان در قالب‌های موسیقایی، مورد توجه قرار گرفت (Sparshott 1998) و ارزش‌ها و معنا در موسیقی تا حد زیادی در پیوند با لذت عقلانی مبتنی بر کارکرد عقل در نظر گرفته شد. به نظر می‌رسد قواعد عقلانی در موسیقی، که کمابیش بر پایه‌ی پیشرفت علم صوت‌شناسی شکل گرفت، تماماً مختصاتی را شرح و بسط داد که در آن یک قطعه‌ی موسیقی می‌تواند واجد معنا باشد.
درباره تازه ترین اثر گروه نور

درباره تازه ترین اثر گروه نور

گروه نور با آلبوم «آلبا» به جست وجوى ریشه هاى کهن موسیقى برخاسته اند. جست وجویى که واکنش انسان معاصر به گم شدن ریشه ها در دوره مدرن و فرامدرن است.
نقد تاریخ نگاری موسیقی ایرانی (XI)

نقد تاریخ نگاری موسیقی ایرانی (XI)

تمدن اروپای امروزی حدود قرن های ۱۲ تا ۱۴ با تاسیس دانشگاه ها و ساختن کاتدرال ها در ناحیه اروپای مرکزی پدیدار می شود. جواهر‌ لعل ‌نهرو در کتاب جالبش «نگاهی به تاریخ جهان» (ترجمه محمود تفضلی) به نقش کاتدرال ها در پیدایش تمدن اروپایی اشاره می کند که:«… یک نوع معماری جدید… رشد و تکامل یافت که پیش از آن هرگز در اروپا دیده نشده بود. به‌وسیله‌ی پیداکردن راه‌حل‌های ذکاوتمندانه در معماری، سنگینی و فشار طاق‌ها و سقف‌های سنگین به پشتیبان‌های بزرگی که در خارج از عمارت بود، منتقل می‌گشت. در داخل فقط ستون‌های ظریف و کشیده، طاق‌های بلند و بسیار مرتفع را نگاه می‌داشتند که حیرت و شگفتی را برمی‌انگیخت.
سمفونی مانفرد؛ یک شاهکار روسی… (I)

سمفونی مانفرد؛ یک شاهکار روسی… (I)

در پایان آوریل سال ۱۸۸۵ بر روی هر تکه کاغذی که دم دستش بود چیزهائی می نوشت و مشخص بود که اثر تازه ای در ذهن او جوانه می زند و آن اثر چیزی به جز سمفونی “مانفرد” نبود که مدتها پیش به “بالاکیرف” وعده ساختنش را داده بود که در این سالها شوق ساختنش را نداشت اما ناگهان این میل در او بیدار شده بود و کم کم به جدیت بدان مشغول شد و پس از مدت زمانی کوتاه چنان مجذوب آن شد که به “نادژدا فون مک” نوشت، در حال حاضر قصد تصنیف اپرای “زن افسونگر” را نخواهد داشت و به جز مانفرد هیچ چیز دیگری در ذهنش نمی گنجد.
نگاهی به اپرای عاشورا (IV)

نگاهی به اپرای عاشورا (IV)

این پرده با تم معروف حر آغاز میشود که تنها پرده این اپرا است که عبدی در آن از تمی غیر از ساخته های خودش استفاده کرده است. اکثرا در تعزیه هایی که در جای جای کشور ما اجرا میشود، ملودی های مختلفی به کار گرفته میشود و به ندرت چند تعزیه کاملا یکسان میتوان یافت، مگر قسمت حر که در اکثر تعزیه ها همین تم در مایه دشتی استفاده میشود؛ در این اپرا هم عبدی از همین سنت پیروی کرده است.
ویلنسل (XII)

ویلنسل (XII)

ویولنسل یکی از اعضای ترکیب سنتی کوارت های زهی و همچنین کوینتت ها، سکستت ها و تریوهای زهی و دیگر ترکیب های آنسامبل است. قطعاتی برای هم نوازی دو، سه، چهار یا شمار بیشتری ویولنسل نیز نوشته شده که به سبک از آنسامبل «کر ویولنسل» هم گفته می شود. صدای چنین آنسامبلی را می توان با مقدمه اوورتور اپرای ویلیام تل اثر روسینی و یا صحنه Zaccharias’ prayer از اپرای نابوکو اثر وردی همانند دانست.
از بداهه نوازی تا آهنگ سازی (III)

از بداهه نوازی تا آهنگ سازی (III)

دومین و یا شاید سومین گروه سازه های میانی نت ها هستند که موجب تدوین اثر هنری و جدا شدن هویت آهنگساز از نوازنده می شوند. اگر نت ها پدید نمی آمدند، شخصیت فردی هنرمند چون آهنگساز پدید نمی آمد و آنچه شناخته می شد، تنها نوازنده بود که به عنوان عمله ی طرب از آن در خانه های اشراف اروپایی و ایرانی بهره می بردند.
نقد آرای محمدرضا درویشی (VII)

نقد آرای محمدرضا درویشی (VII)

موسیقی‌دانان و متفکران قرون گذشته از آنجا که خود، تجسّم زنده‌ی معنویت شرقی بودند، همچون ما از فرط عجز و درماندگیِ فکری مدام به‌دنبال گریزگاه و پناهگاه هنری و فکری نبودند.» (درویشی۱۳۷۳/ج: ۲۰) و همان نگرانی‌ها در نوشته‌ی شایگان: «گفتنِ اینکه ما باید با خاطره‌ی قومیِ خود ارتباط داشته باشیم، دال بر این است که این خاطره و گنجینه‌های آن در معرض نیستی است. آیا متفکران گذشته […] چنین می‌اندیشیدند؟ […] نه، آن‌ها برای یافتن این ارتباط نمی‌کوشیدند، آن‌ها خود تجسّم زنده‌ی این خاطره بودند، نه در حاشیه. آن‌ها گنجینه‌های معنوی را به‌تجربه بی‌واسطه درمی‌یافتند و موجب باززاییِ مدامش می‌شدند. آن‌ها برخلاف درماندگان امروزی، در جستجوی گریزگاه و پناهگاهی نبودند.» (شایگان۱۳۵۶: ۵۷)
رفتار موسیقایی، ساختار اجتماعی (I)

رفتار موسیقایی، ساختار اجتماعی (I)

“موسیقی یک فعالیت است که مردم آن را انجام می دهند. معنای آن بسیار انتزاعی است؛ این معنا وابسته به مردمی است که به آن موسیقی می پردازند. موسیقی معنای ذاتی و طبیعی ندارد بلکه وابسته به مردمی است که آن موسیقی را ایجاد کرده اند، انتقال داده اند و به آن واکنش نشان می دهند (Small1998:2).”