فواصل و گام فیثاغورثی

فاصله و گام

به طور کلی گام مجموعه ای است از اصوات که فواصل موسیقایی آنها در اکثر اوقات بین ۲ عدد ۱ و ۲ قرار می گیرد. عدد ۱ که اولین درجه گام است پایگی نام داشته و عدد ۲ اکتاو آن است که قاعدتا گام با آن بسته می شود. فرکانس اکتاو ۲ برابر پایگی است :
F2 = 2 × F 1

اکتاو را می توان به اشکال متفاوت تقسیم نمود . مثلا ۱۲ قسمت مساوی که همان گام ۱۲ نیم پرده مساوی است ، ۲۴ قسمت مساوی که گامی ۲۴ ربع پرده مساوی است و …

اگر گام را به ۱۲۰۰ قسمت مساوی تقسیم نماییم به یکی از واحدهای اندازه گیری فاصله درموسیقی دست می یابیم. این واحد سنت CENT نام داشته و با علامت C نمایش داده می شود.

نسبت فاصله موسیقی عبارت است از نسبت فرکانس ۲ نت نسبت به یکدیگر که معادل عددی است بین ۱ و ۲ به گونه ای که :

R=F2/F1 F1 ≤F2
هر فاصله موسیقی را می توان به سنت تبدیل نمود :
به این ترتیب بین پایگی و اکتاو ۱۲۰۰ سنت و بین دو نت با فاصله پنجم فیثاغورثی (۵/۱ = (R701.9 سنت و بین دو نت با فاصله ۵ در گام ۱۲ قسمتی مساوی ۷۰۰ سنت فاصله وجود دارد.

این نسبتها در واقع بخشی از بی نهایت فاصله موجود در یک گام می باشند چرا که می توان با کوچک کردن میزان سنت بین فواصل آن ها را به هم متصل نمود :

گام فیثاغورثی

فیثاغورث (تولد حدود ۵۶۹ قبل از میلاد در Samos, Ionia ، وفات حدود ۴۷۵ قبل از میلاد)

محل زندگی فیثاغورث در یونان
فیثاغورث به عنوان یک ریاضی دان یونانی تدوین گر نحوه تعیین فواصل و گام موسیقی بر اساس نسبت طولی سیم های کوک شده با فاصله پنجم است. با توجه به پیشرفت ریاضی و موسیقی در مصر و بین النهرین او مطمئنا تحت تاثیراصول موسیقی آموخته شده از مصر و بین النهرین قرار گرفته و بنیاد تئوری خود را بنا نهاده است.

فیثاغورث گام موسیقی را یکی از عناصر ساختاری افلاک می دانست و برای افلاک نوعی آرمونی قائل بود.

همانطور که قبلا ذکر شد، گام فیثاغورث ناشی از ایجاد فواصل پنجم متوالی از یک نت اولیه است. به این ترتیب به دایره ای از فواصل پنجم می توان دست یافت. در شکل زیر دایره فواصل پنجم بر اساس نت دو C در گام ۱۲ نیم پرده مساوی مشاهده می شود:

همانطوریکه در شکل بالا مشاهده می شود با حرکت از نت دو به نت سل و بعد به نت ر و نت های دیگر می رسیم . دایره پنجم ها را می توان به صورت زیر نیز نشان داد
همانگونه که در این اشکال مشاهده می شود فواصل موسیقایی موجو د در کادر همگی تشکیل دهنده یک گام دیاتونیک می باشند. در این گام ۳ فاصله متفاوت وجود دارد:
– پرده L : با نسبت ۹:۸ معادل ۲۰۳٫۹۱ سنت .
– نیم پرده دیاتونیک S یا لیما: با نسبت ۲۵۶:۲۴۳ معادل ۹۰٫۲۲۵ سنت. لازم به ذکر است که نیم پرده دیاتونیک بین نت های غیر همنام مانند می و فا مشاهده می شود. (شکل بالا سمت چپ).نیم پرده دیاتونیک را دوم کوچک نیز می نامند و با علائمی مانند min2, m2, b2 نمایش می دهند.
– نیم پرده کروماتیک یا آپوتوم: اختلاف بین S و L ک معادل ۱۱۳٫۶۸۵ سنت یا معادل نسبت ۲۱۸۷:۲۰۴۸ است.

نحوه محاسبه فواصل فیثاغورثی
همانطور که در بالا عنوان شد فواصل فیثاغورثی همگی از تاثیر فاصله پنجم به صورت متوالی و زنجیروار حاصل می شوند. اگر نت پایه را با نسبت ۱:۱فرض کنیم داریم :
جدول بالا نشاندهنده فواصلی مانند ۳:۲ ، ۸۱:۶۴ ، ۹:۸ ، ۴:۳ ، و غیره است. لازم به ذکر است در ۲ نسبتی که صورت یکی با مخرج دیگری مساوی است رابطه زیر برقرار است:
نسبت کوچکتر= نسبت بزرگتر ÷ ۲
به عنوان مثال :
۴:۳= ۳:۲ ÷ ۲
در جدول زیر فواصل فیثاغورثی را در یک گام دیاتونیک مشاهده می نمایید :
همچنانکه در جدول بالا مشاهده می شود فواصل نیم پرده ای کروماتیک FA# و Sib وجود ندارند. اصولا در این گام فواصلی مانند D# و Eb باهم برابر نیستند. میزان اختلاف این دو فاصله نیم پرده ای غیر همجنس معادل زیر است :
کومای فیثاغورثی = نیم پرده دیاتونیک(لیما) – نیم پرده کروماتیک(آپوتوم)
۲۳٫۴۶سنت = ۹۰٫۲۲۵- ۱۱۳٫۶۸۵

رابطه گام فیثاغورثی و گام ۵۳ قسمتی مساوی
با توجه به آنکه پرده فیثاغورثی متشکل از لیما و آپوتوم است و با فرض روابط زیر:
پرده بزرگ = آپوتوم + لیما
آپوتوم = لیما + کما
لیما ~ کما ×۴
می توان نوشت :
پرده بزرگ ~ کما × ۹
۵۳ کما ~ ۵ پرده بزرگ + ۲ لیما = اکتاو
به این ترتیب گام فیثاغورثی تقریبا معادل گام ۵۳ کمایی است . با فرض کما معادل ۲۲٫۶۴۱ سنت ، گام ۵۳ قسمتی مساوی شکل می گیرد که هر درجه آن برابر با ۲۲٫۶۴۱ سنت است. در جدول زیر رابطه گام فیثاغورثی و ۵۳ قسمتی مساوی نشان داده شده است :





با توجه به مقایسه درجات دو گام و فواصل آنها برحسب سنت می توان فهمید که گام ۵۳ قسمتی مساوی جایگزین بسیار مناسبی برای گام فیثاغورثی است .

در همین جا لازم است کمای مرکاتور ( معادل ۳٫۱۶۵ سنت ) که کمای دیگری در گام فیثاغورثی است معرفی شود . قبلا گفته شد که هر ۴ کما تقریبا معادل یک لیما است :

کمای مرکاتور (MERCATOR) = لیما – ۴ کما
۳٫۶۱۵ = ۹۰٫۲۲۵ – ۹۳٫۸۴

تفاضل درجاتی از گام فیثاغورثی مانند ۴-۹- ۱۵-۲۰ با درجات قبلی خود دقیقا معادل کمای مرکاتور است. در شکل زیر مقایسه بین درجات گام ۵۳ قسمتی مساوی و گام ۱۲ قسمتی مساوی را مشاهده می نمایید. جدول فوق دارای ۱۲ ردیف است که هر ردیف آن معادل ۱۰۰ سنت می باشد :
اشکالات سیستم فیثاغورثی

از آنجا که این سیستم زنجیره ای از فواصل پنجم را نشان می دهد ، در انتهای این زنجیره ناهمگنی در انطباق فواصل مشاهده می شود. به عنوان مثال اگر زنجیره پنجم را با نوت C شروع کنیم داریم :
C-G-D-A-E-B-F#-C#-G#-D#-A#-E#-B#
B# و F# باید آنارمونیک C و F باشند اما اندکی متفاوتند . به همین خاطر در این سیستم به هنگام اجرای مثلا یک پاساژ کروماتیک مشکل مشاهده می شود .همچنین در مدولاسیون بین کلیدهای مختلف نیاز به نیم پرده های آپوتوم و لیما است.

از مشکلات دیگر این سیستم آن است که فواصلی مانند Eb-G# چهارم درست نبوده و تحت عنوان فاصله چهارم WOLF نامیده می شوند. فاصله چهارم WOLF از فاصله چهارم درست یک کما (۲۴ سنت) بیشتر است :
(Eb-G#)=(D#-G#)+24c

همچنین فاصله پنجم WOLF در این سیستم ناشی از کاسته شدن یک کما از فاصله پنجم درست می باشد :
(G#-Eb)=(Ab-Eb)-24c

لغت WOLF احتمالا مربوط به سونوریته ارگ های بادی اولیه است که به هنگام نواختن چنین فواصلی به گوش شنوندگان شبیه صدای زوزه گرگ به نظر می رسد.

احتمالا تغییرات در ساختار سیستم فیثاغورثی از قرن ۱۴ میلادی شروع شده است. دراین زمان جایگاه نیم پرده های آپوتوم و لیما عوض شده و به صورت زیر در آمد :

(C) 90 –(C#/Db)– ۱۱۴ (D)
با گذشت زمان انواع سیستم های اعتدال نیز ابداع گردید تا بتوانند نقائص این سیستم را بر طرف نمایند.این امر در نهایت به سیستم اعتدال ۱۲ نیم پرده مساوی انجامید که در قبل ذکر گردید.

17 دیدگاه

  • Dr S
    ارسال شده در شهریور ۵, ۱۳۸۵ در ۹:۱۶ ب.ظ

    aalist.

  • saeed1922
    ارسال شده در شهریور ۷, ۱۳۸۵ در ۲:۰۷ ب.ظ

    بابا یه خورده آروم تر ! فهمیدن اینها یه خورده به زمان نیاز داره!

  • babak
    ارسال شده در شهریور ۸, ۱۳۸۵ در ۸:۲۴ ب.ظ

    khaste nabashid. kheili mofid bood

  • ناشناس
    ارسال شده در شهریور ۲۴, ۱۳۸۵ در ۲:۵۸ ق.ظ

    اینا رو تو دانشگاه موسیقی هم یاد می دن؟؟؟ واقعا یه دنیاییه…

    من از ریاضی فراریم و عاشق موسیقی.. می بینم که باید ریاضی رو خوب بلد باشم تا موسیقی رو خوب یاد بگیرم…

  • keivan
    ارسال شده در شهریور ۲۵, ۱۳۸۵ در ۱۰:۲۶ ب.ظ

    baba dametoon garm in noskheye ghabele chap ke on balast kheili bahale

  • محمد رضا
    ارسال شده در دی ۲۲, ۱۳۸۵ در ۱۰:۲۲ ب.ظ

    واقا عالیست .متاسفانه موسیقی اصیل را با موزیکهای یک شبه عوض کردن .من فیزیک خوندم ÷ معرکه است این سایتتون

  • ناشناس
    ارسال شده در فروردین ۷, ۱۳۸۶ در ۱۲:۴۳ ق.ظ

    fogholadas. baraye man ke kheili mofid bud.

  • en.k
    ارسال شده در فروردین ۷, ۱۳۸۶ در ۱۲:۴۴ ق.ظ

    fogholadas. baraye man ke kheili mofid bud.

  • ارسال شده در شهریور ۲۴, ۱۳۸۷ در ۳:۱۲ ب.ظ

    nazarate ostad Kiani ra besyar mipasandam

  • ناشناس
    ارسال شده در بهمن ۲, ۱۳۸۷ در ۹:۱۵ ب.ظ

    ممنون ولی واقعا سنگینه

  • یوسف
    ارسال شده در مهر ۲۷, ۱۳۸۸ در ۱۱:۲۸ ب.ظ

    به نظر من موسیقی از هر علمی بهتره. چون هم فیزیکه هم ریاضیه هم فلسفه ست هم پزشکیه هم معارفه و خیلی چیزای دیگه.
    از مطالبی که مینویسید خیلی خوشم میاد بیشتر اطلاعات داشته باشم. ادامه بدید. دستتون درد نکنه…

  • shayan
    ارسال شده در دی ۲۵, ۱۳۸۸ در ۱۰:۵۵ ق.ظ

    mamnon kheili baram mofid bood

  • Yekta
    ارسال شده در بهمن ۲۵, ۱۳۸۸ در ۵:۱۳ ب.ظ

    سایت جامع و کاملیه،لذت بردیم.موفق باشید

  • مازیار
    ارسال شده در مهر ۲, ۱۳۹۰ در ۸:۰۸ ق.ظ

    چه میکنه این مقالات هارمونی تاک –
    واقعاً مقالات این سایت هم از لحاظ کمیت ه م کیفیت خوبن – دمتون جمیعاً گرم

  • مهران
    ارسال شده در آبان ۱, ۱۳۹۲ در ۹:۴۴ ق.ظ

    با سلام.واقعا که مرسی .بسیار از این مقاله خوشم اومد.کاملا مفید برای همه اونایی که میخوان موسیقی را با تلاش فراوان دنبال کنند همچین مجموعه ها و مقالاتی خیلی خیلی به درک اونها از موسیقی میانجامد.لینک های فراوون دیگه ای رو هم دیدم که حتما به اونها سر میزنم

  • سینا
    ارسال شده در مرداد ۱, ۱۳۹۳ در ۴:۴۱ ب.ظ

    عالی بود اینو میگن ارتباط موسیقی با ریاضی!!

  • ناشناس
    ارسال شده در مرداد ۵, ۱۳۹۵ در ۱۲:۰۳ ب.ظ

    سلام
    دوست عزیز لطفا با یک موسیقی دان مشورت کنید و با همکاری ایشان این مسائل را توضیح دهید
    ظاهرا شما فیزیکدان هستید

    ممنون

ارسال دیدگاه

رایانامهٔ شما نمایش داده نخواهد شد.

نظر من، نظر شما، نظر او

خیلی پیش می‌آید که در واکنش به یک نقد بشنویم؛ «این نظر نویسنده است». آیا تا به‌حال دقیقاً فکر کرده‌ایم که چنین جمله‌ای یعنی چه؟ کسی که این جمله را می‌گوید درواقع دارد اعتبار حکم‌های درون نقد را زیر سؤال می‌برد. می‌گوید آنها از جنس «نظر شخصی» هستند. اولین مفهومی که از نظر شخصی به ذهنمان می‌آید چیزی است مثل این جمله «قورمه‌سبزی خیلی خوب است». این «نظر» گوینده است درباره‌ی یک غذا. آنجا «شخصی» بودنش معلوم می‌شود که یک نفر دیگر پیدا می‌شود و درست برعکسش را می‌گوید و ما هم راهی پیدا نمی‌کنیم که بگوییم کدام درست گفته. فقط می‌توانیم بگوییم با اولی موافقیم یا با دومی. یعنی وابسته به «شخص» گوینده یا شنونده است.

تحقیقی درباره باربد؛ موسیقیدان دوره ساسانی (III)

محمدالله مستوفی گوید: در زمان بهرام کار مطربان بالا گرفت چنانکه مطربی روزی بصد درم قانع نمیشد بهرام گوراز هندوستان دوازده هزار لولی آورد که نوادگان ایشان هنوز در ایران مطربی می کنند.

از روزهای گذشته…

«واکاوی آموزش موسیقی در ایران» با سخنرانی نادر مشایخی برگزار می شود

«واکاوی آموزش موسیقی در ایران» با سخنرانی نادر مشایخی برگزار می شود

نادر مشایخی آهنگساز و رهبر ارکستر روز سه شنبه ۹/۸/۹۶ در آکادمی موسیقی پوپیتر با موضوع «واکاوی آموزش موسیقی در ایران» به سخنرانی خواهد پرداخت. مشایخی در این سخنرانی که از مجموعه برنامه های پژوهشی و درس گفتارهای آکادمی موسیقی پوپیتر می باشد به بررسی مسائل مربوط آموزش موسیقی در ایران می پردازد.
ویلهلم کمپ

ویلهلم کمپ

ویلهلم کمپ (Wilhelm Walter Friedrich Kempff) در ۲۵ نوامبر سال ۱۸۹۵ و در براندینبورگ آلمان چشم به جهان گشود. در دنیای موسیقی وی بعنوان یک نوازنده متبحر در پیانو و همچنین یک آهنگساز آلمانی تبار شناخته شده است. در کارنامه نوازندگی او میتوان رپرتوار گسترده ای از قطعات مختلف آهنگسازان بنام را مشاهده نمود؛ آثاری از باخ، لیست، شوپن، شومان و برامس که او با استادی تمام در کنسرتهایش به نمایش میگذاشت.
پایان مهلت ارائه آثار به جایزه بین المللی پیانوی باربد

پایان مهلت ارائه آثار به جایزه بین المللی پیانوی باربد

با پایان مهلت ارائه آثار به جایزه بین المللی پیانوی باربد، بیش از صد اثر به دبیرخانه این جایزه ارسال شد. به گزارش روابط عمومی جایزه بین المللی پیانوی باربد، مهلت ارائه آثار به دبیرخانه این جایزه که به درخواست داوطلبان تمدید شده بود، دهم آذرماه به پایان رسید و بیش از صد اثر برای حضور در دو گروه سنی ۱۱ تا ۱۸ سال و ۱۸ تا ۳۵ سال به دبیرخانه این جایزه ارسال شد.
بدون گواهی تولد

بدون گواهی تولد

نت کینگ کول با نام نتانیل آدامز کولز (Nathaniel Adams Coles) در سال ۱۹۱۹ در آلاباما متولد شد. نت به عنوان کودک سیاه پوستی که در یک خانواده فقیر ساکن جنوب آمریکا به دنیا آمده بود، گواهی تولد نداشت و روز تولدش به این خاطر به یاد مانده است که روز عید سنت پاتریک بوده است.
تاثیر ذهن بر ساختار جمله بندی ها در ویولن (I)

تاثیر ذهن بر ساختار جمله بندی ها در ویولن (I)

از نکات کلیدی در نواختن جملات با الگوی لگاتو و پوزیسیون های بالا رونده و پر سرعت که در بسیاری از قطعات رپرتوار ویولن کاربرد دارد، جمله بندی های ذهنی توسط نوازنده برای اجرای این دسته پاساژها می باشد. از آنجا که تنها با دانستن این نکته که با تغییر نوع نگاه ذهن به نحوه اجرای یک جمله و دگرگونه شنیدن آن و بدست آوردن شناخت و فهم جدید از جمله، نوازنده می تواند به آسانی از میزان مراتب تکرار و نیز زمان کمتر تمرین تا رسیدن به حد مطلوب نواختن آن کاسته و اجرای جمله را با سرعت، کیفیت و توان بیشتری رقم زند، دقت بر این موضوع بسیار می تواند راهگشا باشد.
نشست رسانه ای کنسرت «بگو کجایی» برگزار شد

نشست رسانه ای کنسرت «بگو کجایی» برگزار شد

نشست رسانه ای کنسرت «بگو کجایی» به خوانندگی محمد معتمدی و رهبری ارکستر رضا شایسته یکشنبه ۲۹ مرداد ماه در تالار امیرحسین فردی حوزه هنری برگزار شد. در ابتدای این نشست علیرضا امینی سرپرست ارکستر نیایش گفت: مجموعه آثار فاخر کلاسیک ایرانی که از عمر تولید آن بیش از نود سال می گذرد در برگیرنده ویژگی های خاصی هستند. این آثار، آثاری هستند که به صورت سینه به سینه منتقل شده اند و یکی از هنرمندانی که طی دهه های گذشته از خود کارهای بسیار ارزشمندی بر جای گذاشته استاد مجید وفادار است که قطعه های مربوط به این هنرمند تاثیر بسیاری در حوزه شنیداری موسیقی اصیل ایرانی داشته است. این هنرمند نزدیک به سیصد تصنیف دارد که خوشبختانه هم دست نویس آنها وجود دارد و هم بیش از دویست قطعه از آنها به صورت شنیداری قابل دسترسی است.
گزارش جلسه پانزدهم «کارگاه آشنایی با نقد موسیقی» (III)

گزارش جلسه پانزدهم «کارگاه آشنایی با نقد موسیقی» (III)

در ایران به نظر مدرس، این نوع نگرش به موسیقی اگر هم وجود داشته باشد هنوز بیشتر معطوف به مرحله‌ی نخست و یافتن و آشکار کردن کار و آثار آنها است. مانند اغلب فعالیت‌هایی که اکنون در «سایت زنان موسیقی» صورت می‌گیرد. هنوز در آثار موسیقایی به ندرت ممکن است نشانه‌هایی از ژرف‌تر شدن این گفتمان به چشم بخورد. این مساله ممکن است تابعی از مشکلاتی باشد که در جوامع دیگر حل شده و در جامعه‌ی ما هنوز باقی است.
تروایس، گروه موسیقی موفق انگلیسی

تروایس، گروه موسیقی موفق انگلیسی

تراویس “Travis” یک گروه راک اهل گلاسکو، اسکاتلند متشکل از فران هیلی Fran Healy ، دوگی پین Dougie Payne، اندی دانلوپ Andy Dunlop و نیل پریمروز Neil Primrose است. این گروه از محبوب ترین گروههای موسیقی انگلستان است که در ادامه راه گروههای موفقی چون Coldplay و Keane تا کنون دو بار موفق به دریافت جایزه بهترین آلبوم سال Brit awards شده است.
ECM

ECM

شرکت ECM (مختصر شده از عنوان Edition of Contemporary Music) یکی از شرکتهای معتبر در موسیقی میباشد که در سال ۱۹۶۹ در شهر مونیخ آلمان توسط Manfred Eicher تاسیس شد.
آب زنید راه را…

آب زنید راه را…

در سی سالگی تصنیف این اثر ارکسترال، چه برای کسانی که پخش آن از تلویزیون دوشبکه ای صدا و سیمای دهه شصت را خوب به یاد دارند و شنیدن مجدد آن بیشتر جنبه های نوستالژیک برایشان دارد، و چه برای آنها که شاید حتی یک بار هم آن را نشنیده باشند! شنیدن آن خالی از لطف نخواهد بود. همچون بسیاری از دیگر آثار، یافتن نسخه ای با کیفیت از اجرای این اثر توسط ارکستر سمفونیک تهران (البته اگر وجود داشته باشد) بسیار دشوار است. با این حال همین نسخه ای که موجود است نیز با تمام بی کیفیتی اش تا حدود زیادی عظمت اثر را باز می نمایاند.