شاهین مهاجری
تاکنون کتابها و مقالات متعددی منتشر شدهاند که به کاربرد ریاضی در موسیقی، از جمله مبحث اندازه گیری فواصل و سیستمهای کوک، پرداختهاند. در جدول زیر تعدادی از آنها معرفی شدهاند (جدول۱):
- تابع Function
تابع، از مهمترین مفاهیم مورد استفاده در ریاضی است که در بسیاری از حوزههای دانش مورد استفاده قرار میگیرد. تابع، یک فرمول، ضابطه، قاعده یا قانون است که ارتباط بین یک متغیر ورودی مستقل و یک متغیرخروجی وابسته را نمایش میدهد. برای درک مفهوم تابع میتوان به جمله زیر توجه کرد:
محیط یک مربع به طول ضلع آن بستگی دارد.
در این مثال، مقدار یک کمیت خروجی وابسته (محیط مربع P) به مقدار کمیت ورودی مستقل (طول ضلع مربع L) بستگی دارد. این بستگی، تابع نام دارد. هرتابع با یک فرمول نشان داده میشود که چگونگی محاسبۀ مقدار خروجی از مقدار ورودی را توصیف میکند. فرمول تابعی که محیط مربع را نشان می دهد عبارت است از:
x، ورودی مستقل (در اینجا، طول ضلع مربع L) و f (x) معرف مقادیر خروجی وابسته تابع (در اینجا، محیط مربع P) است. با قرار دادن هر یک از مقادیر x، مقادیر خروجی f (x) به دست میآیند. میتوان به جای f (x) از y استفاده کرد:
به عنوان مثال، تابع مرتبط با محیط مربع، برای مقادیر مستقل x، مقادیر وابسته y در جدول زیررا به دست می دهد:
در توصیف ماهیت وانواع توابع ریاضی، مفاهیم متعددی مانند قلمرو، برد، رابطه، زوج مرتب و نمودار تابع مطرح میشوند:
- قلمرو (Domain): به مجموعه تمام مقادیر ممکن ورودی مستقل تابع می گویند (ستون مقادیر x).
- برد (Range): مجموعه تمام مقادیر ممکن خروجی وابسته به دست آمده از ورودیهای تابع، برد نام دارد (ستون مقادیر y).
هنگامی که تابع y=f (x) را با فرمولی تعریف میکنیم که محدوده قلمرو آن صراحتاً بیان نمیشود، قلمرو آن تابع شامل مجموعۀ اعداد حقیقی (مجموعه تمام اعداد به جز اعدادی مانند اعداد گنگ و بی نهایت) خواهد بود که به ازاء آنها فرمول تابع میتواند مقادیر حقیقی برای برد تابع تولید کند. اگر بخواهیم قلمرو را محدود کنیم، باید صراحتاً بیان کنیم. به عنوان مثال، اگر بخواهیم قلمرو یک تابع را به اعداد مثبت بزرگتر از صفر محدود کنیم، آن را به شکل بازه [۰,∞) می نویسیم:
D=[0,∞)
علائم [یا] نشاندهنده تعلق و علائم (یا) نشاندهنده عدم تعلق به بازه است. در نتیجه برد این تابع نیز R= [0,∞) میباشد.
- رابطه (Relation): مشخص است که برای هر x، صرفا میتوان یک y به دست آورد. اگر برای هر x، بیش از یک y حاصل شود، تابع به رابطه تبدیل میشود. در واقع تابع نوعی رابطه است که برای هر x، صرفا یک y به دست دهد.
- جفت مرتب (ordered pair): به هر دوتایی به صورت (x,y) که محصول فرمول تابع باشد و ترتیب قرار گرفتن x و y در آنها اهمیت داشته باشد، جفت مرتب میگوییم. در این صورت x را مؤلفه اول و y را مؤلفه دوم مینامند. هر جفت مرتب را میتوان به صورت یک نقطه در محور مختصات دکارتی نمایش داد.
۱ نظر