کاربرد یک مدل آزمایش تصادفی در طراحی گام‌های میکروتونال ۱۲ قسمتی (۴)

برای تاس اندازی می‌توان از یک عدد تاس شش‌وجهی یا سایت‌هایی که برای شبیه‌سازی پرتاب تاس طراحی شده‌اند، (مانند سایت Dice Roller) استفاده کرد. در این سایت می‌توان تعداد وجه یا ابعاد و تعداد تاس‌ها را تغییر داده، همچنین جمع اعداد پیشامدهای حاصله را مشاهده نمود. در این مطالعه، ۳ آزمایش تصادفی از طریق سایت Dice Roller و پس از تنظیم ابعاد تاس بر روی عدد ۶ و تعداد تاس بر روی عدد ۱۲، انجام گرفت (شکل۳). اعداد حاصل از این آزمایشات، از چپ به راست خوانده شدند:

 تحلیل
اعداد آزمایش اول در کاربرگ اکسل وارد شده و نتایج زیر به‌دست آمد (شکل۴):

در شکل ۴:

• شماره تاس نشان‌دهنده شماره قسمت گام است.
• جمع اعداد تاس، نشان‌دهنده تعداد تقسیمات مساوی اکتاو است (در اینجا گام مرتبط با آزمایش اول، ۴۱ قسمتی مساوی یا همان ۴۱-EDO است که اندازه هر قسمت آن معادل ۲۹.۲۶۸۲ سنت است).
• براساس اعداد تاس، اندازه فاصله هر قسمت مشخص شده و میزان اختلاف آن با فاصله درجات گام ۱۲ قسمتی مساوی نیز درج شده است، به‌عنوان مثال عدد ۶ تاس در شکل بالا یعنی ۶ قسمت از ۴۱ قسمت.

در شکل ۵ می‌توان:

1. a) نمودار گام میکروتونال حاصله در مقایسه با گام ۱۲-EDO
2. b)  نمودار میزان اختلاف فواصل قسمت‌های گام میکروتونال حاصله در مقایسه با گام ۱۲-EDO
3. c)  جدول اندازه فواصل درجات گام میکروتونال حاصله در مقایسه با گام ۱۲-EDO

را مشاهده نمود.

در نهایت، اندازه فواصل درجات گام‌های میکروتونال حاصله در مقایسه با گام ۱۲-EDO مرتبط با آزمایش اول، دوم و سوم براساس روش بالا و نمودار آن‌ها در شکل ۶ مشخص شده‌اند:

در شکل ۷، اندازه فواصل هرقسمت از گام‌های میکروتونال حاصله در مقایسه با گام ۱۲-EDO مرتبط با آزمایش اول، دوم و سوم براساس روش بالا مشخص شده‌اند:

با مشاهده ساختار این گام‌ها می‌توان مواردی را برشمرد:
– علی‌رغم این‌که اندازه بعضی قسمت‌ها در ساختار گام مساوی است ولی این گام‌ها دارای ساختاری از نوع تقسیم نامساوی هستند.
– به‌طور کلی تعداد تقسیمات گام با تعداد وجوه تاس رابطه مستقیم دارد. در آزمایش تصادفی تاس‌اندازی و با انتخاب تاس شش‌وجهی، حداکثر تقسیمات گام زمانی به‌دست می آید که تمام ۱۲ تاس عدد ۶ را نشان داده و در نتیجه گام، ۷۲ قسمتی مساوی خواهد بود. بدیهی است که حداقل تقسیمات گام زمانی نیز زمانی به‌دست می‌آید که تمام ۱۲ تاس عدد ۱ را نشان داده و گام، ۱۲ قسمتی مساوی می‌شود.
– به‌طور کلی اندازه فاصله تقسیمات گام با تعداد وجوه تاس و جمع اعداد به‌دست‌آمده، رابطه مستقیم دارد. به‌عنوان مثال، حداکثر اندازه فاصله درآزمایش تصادفی سوم و با انتخاب تاس شش‌وجهی، مربوط به درجه هفتم گام (۱۹۴.۵۹سنت) و حداقل اندازه فاصله، مربوط به درجه پنجم و دهم گام آزمایش اول (۲۹.۲۶سنت) است (شکل۷). اگر در یک تاس‌اندازی، نتیجه ۱۱ تاس معادل ۱ و یک تاس معادل ۶ باشد، جمع اعداد برابر ۱۷ شده و فاصله ۱۱ قسمت مساوی ۷۰.۵۸ سنت و فاصله یک قسمت معادل ۴۲۳.۵۲ سنت خواهد شد.
– بدیهی است که اگر تمام ۱۲ تاس، یک عدد را نشان دهند، گام حاصله فارغ از جمع تقسیمات، ۱۲ قسمتی مساوی است.
– به‌طور کلی فضای نمونه (براساس تعداد پیشامدها یا تعداد گام‌های ۱۲ قسمتی) که از انداختن یک تاس شش‌وجهی به تعداد ۱۲ بار ایجاد می‌شود معادل:

تعداد گام است (نصیری،۱۳۸۵،۷۰).

نتیجه‌گیری
ریاضی می‌تواند رازهایی را که با ظرافت در دل هر پدیده‌ای پنهان هستند، بیرون کشیده و در دسترس هنرمند قرار دهد. این اتفاق باعث ایجاد مسیری نو بین علم و هنر می شود، مسیری که خلاقیت ناآگاه هنرمند را به‌سمت نگاهی متفاوت به پدیده‌های موجود هدایت می‌کند. در موسیقی نیز وجوه قابل ثبت عددی و طراحی براساس ریاضی فراوان‌اند. ایده طراحی سیستم فواصل موسیقی، براساس یک فرمول‌، یک تابع و رابطه ریاضی و آزمایش‌های تصادفی، از وجوه کاربرد محاسبات ریاضی در موسیقی بوده و می‌تواند مسیری نو برای یک آهنگ‌ساز میکروتونال به وجود آورد. کاربرد ریاضی مبتنی‌ بر آزمایش‌های تصادفی و تحلیل و ثبت به‌صورت عدد، ابزاری است برای ایده‌پردازی و می‌تواند به شنیدن موسیقی پنهان در مفاهیم ریاضی کمک کند. همچنین این روش می‌تواند تعدادی گام ۱۲ قسمتی فراتر از حد تصور در فضای موسیقی میکروتونال ایجاد کند.

یک نمونه موسیقی ۱۲ قسمتی میکروتونال
بر‌اساس نتایج حاصل از تبدیل داده‌های آزمایش تصادفی دوم مندرج در متن مقاله به گام ۱۲ قسمتی میکروتونال، یک قطعه موسیقی به نام K2-18b ساخته شد. برای ساخت این قطعه با انتخاب سمپل مناسب و بعد از ورود اندازه فواصل در سمپلر Kontakt، نوت‌نویسی در برنامه Encore 4.5 انجام گردید. در این لینک، امکان شنیدن قطعه فراهم شده است. شیوه نوت‌نویسی قطعات میکروتونال منطبق بر روش پیشنهادی نگارنده می‌باشد (مهاجری،۱۳۹۳) (شکل۸).

منابع
• آتالای، بولنت. (۱۳۹۶)، «ریاضیات و مونالیزا»، فیروزه مقدم، تهران، انتشارات مازیار
• برل، آرمان. (۱۳۹۷)، «ریاضیات: علم و هنر»، روح‌الله جهانی‌پور و سعید مقصودی
تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴
• فرادرس. (۱۳۸۰)، «نظریه احتمال و کاربردهای آن – به زبان ساده»،
تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴
• کیمی ین، راجر. (۱۳۸۰)، «درک و دریافت موسیقی»، حسین یاسینی، تهران، نشر چشمه
• محمدی بیدهندی، هادی. (۱۳۹۴)، «جزوه درس تئوری احتمالات»

تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴
• مهاجری، ش. (۱۳۹۳)، «شیوه‌ای برای نت‌نویسی سیستم‌‍ های میکروتونال ۱۲ قسمتی»
تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴
• نصیری، پرویز. (۱۳۸۵)، «آمار و احتمالات مهندسی»،تهران، انتشارات دانشگاه پیام نور

• Boehmer,k. (1988). “Zur Theorie der offenen Form in der neuen Musik”, Darmstadt: Edition Tonos

• Budd,C(2020) . “The Art of Maths“

تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴

• “Shara,J (2022) .”Mathematics and art”

تاریخ دسترسی ۰۱/۰۲/۱۴۰۴