سیستم فیثاغورثی و اعتدال مساوی (۵)

به سوی ۱۲ نیم پرده مساوی

با توجه به نقص سیستم فیثاغورثی ٬ برای انجام مدولاسیون به تمام کلیدها در طول تاریخ راههای مختلفی طی شد که اعتدال مساوی Equal temperament یکی از آنها است. در سیستم ۱۲ قسمتی مساوی (۱۲-Equal divisions of octave) یا ۱۲-EDO که همان گام ۱۲ نیم پرده مساوی و نوعی اعتدال مساوی است تمام پنجمها یکسان و مساوی ۷۰۰ سنت می باشند. از طرفی مجموع فواصل در چرخه ۱۲ درجه ای پنجمها ۸۴۰۰ سنت =۱۲*۷۰۰ است.

. برای دستیابی به این عدد در چرخه پنجمها باید تعداد ۱۱ فاصله پنجم ۷۰۱.۹۵۵ سنتی را بگونه ای کاهش و پنجم ولف ۶۷۸.۴۹۵ سنتی را افزایش دهیم تا ۱۲ عدد فاصله پنجم ۷۰۰ سنتی بدست آوریم . این روش عبارت است از حذف کما از چرخه بالارونده یا اضافه کردن کما به چرخه پایین رونده به شیوه زیر:

– در چرخه بالارونده باید از هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل :

ΔCm = Cm – (M×۱.۹۵۵)

کسر گردد. ۱.۹۵۵ سنت که گراد Gradنامیده می شود حاصل تقسیم کمای فیثاغورثی بر ۱۲ است و دلیل تقسیم کما بر ۱۲ این است که در چرخه بالارونده ۱۲ درجه ای به هر درجه ضریبی متناسب از گراد اضافه می شودتا در نهایت به درجه ۱۲ مقدار ۱۲*۱.۹۵۵ یا همان کمای فیثاغورثی اضافه می شود. با کاهش مقدار متناسبی از گراد از هر درجه در نهایت به سیستم ۱۲ قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم.

– در چرخه پایین رونده باید به هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل :

ΔCm = Cm + (M×۱.۹۵۵)

اضافه گردد. با اضافه شدن مقدار متناسبی از گراد به هر درجه در نهایت به سیستم ۱۲ قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم. در شکل زیر چرخه بالارونده پنجم ها در سیستم ۱۲ نیم پرده معتدل را مشاهده می کنیم.

در این سیستم نیم پرده های آپوتوم و لیما (کروماتیک و دیاتونیک) تبدیل به یک نیم پرده می شوند. به این ترتیب تمام نیم پرده ها و پرده ها یک اندازه شده و مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود. در شکل زیر ماتریس فواصل سیستم ۱۲ قسمتی مساوی مشاهده می شود.

آنچنانکه در ماتریس بالا مشخص است با تغیر تونیک (C,C#,D,D#,….) اندازه فواصل تغییر نمیکند و در نتیجه بیان موسیقی در مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود ولی لحن فیثاغورثی موسیقی از دست می رود.

ریاضی سیستم ۱۲ قسمتی مساوی

همانطور که در اشاره شد نحوه تعدیل سیستم فیثاغورثی خود دارای بنیادی ریاضی است. اما می توان به جنبه های دیگر ریاضی این سیستم نیز پرداخت.

۱- اصولا نیم پرده های مساوی حاصل تقسیم اکتاو به ۱۲درجه لگاریتمی مساوی می باشند. سیستم ۱۲ درجه ای فیثاغورثی ٬ ناشی از چرخه بالارونده یا پایین رونده پنجم ٬ گویای حضور ۱۲ نیم پرده نامساوی می باشد. حال می توان اکتاو ۱۲۰۰ سنتی را به ۱۲ قسمت مساوی تبدیل نمود تا ۱۲نیم پرده مساوی ۱۰۰ سنتی حاصل شود.

۲- سیستم ۱۲ نیم پرده مساوی حاصل میانگین هندسی است. با احتساب میانگین هندسی فواصل ۱/۲ و ۱/۱ می توان نسبت فاصله چهارم افزوده را پیدا نمود که معادل:

است. به همین ترتیب می توان بقیه فواصل بینابینی را پیدا نمود. مثلا با محاسبه ریشه دوم نسبت فاصله چهارم افزوده٬ نسبت فاصله سوم کوچک بدست می آید. به طور کلی فاصله متشکل از n نیم پرده دارای نسبتی معادل: