به سوی 12 نیم پرده مساوی
با توجه به نقص سیستم فیثاغورثی ٬ برای انجام مدولاسیون به تمام کلیدها در طول تاریخ راههای مختلفی طی شد که اعتدال مساوی Equal temperament یکی از آنها است. در سیستم 12 قسمتی مساوی (12-Equal divisions of octave) یا 12-EDO که همان گام 12 نیم پرده مساوی و نوعی اعتدال مساوی است تمام پنجمها یکسان و مساوی 700 سنت می باشند. از طرفی مجموع فواصل در چرخه 12 درجه ای پنجمها 8400 سنت =12*700 است.

. برای دستیابی به این عدد در چرخه پنجمها باید تعداد 11 فاصله پنجم 701.955 سنتی را بگونه ای کاهش و پنجم ولف 678.495 سنتی را افزایش دهیم تا 12 عدد فاصله پنجم 700 سنتی بدست آوریم . این روش عبارت است از حذف کما از چرخه بالارونده یا اضافه کردن کما به چرخه پایین رونده به شیوه زیر:
- در چرخه بالارونده باید از هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل : کسر گردد. 1.955 سنت که گراد Gradنامیده می شود حاصل تقسیم کمای فیثاغورثی بر 12 است و دلیل تقسیم کما بر 12 این است که در چرخه بالارونده 12 درجه ای به هر درجه ضریبی متناسب از گراد اضافه می شودتا در نهایت به درجه 12 مقدار 12*1.955 یا همان کمای فیثاغورثی اضافه می شود. با کاهش مقدار متناسبی از گراد از هر درجه در نهایت به سیستم 12 قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم.

- در چرخه پایین رونده باید به هردرجه M با مقدار سنت Cm مقدارسنتی معادل :
اضافه گردد. با اضافه شدن مقدار متناسبی از گراد به هر درجه در نهایت به سیستم 12 قسمتی مساوی دست پیدا می کنیم. در شکل زیر چرخه بالارونده پنجم ها در سیستم 12 نیم پرده معتدل را مشاهده می کنیم.

در این سیستم نیم پرده های آپوتوم و لیما (کروماتیک و دیاتونیک) تبدیل به یک نیم پرده می شوند. به این ترتیب تمام نیم پرده ها و پرده ها یک اندازه شده و مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود. در شکل زیر ماتریس فواصل سیستم 12 قسمتی مساوی مشاهده می شود.

آنچنانکه در ماتریس بالا مشخص است با تغیر تونیک (C,C#,D,D#,….) اندازه فواصل تغییر نمیکند و در نتیجه بیان موسیقی در مدولاسیون و ساختار هارمونیک یکدست می شود ولی لحن فیثاغورثی موسیقی از دست می رود.

ریاضی سیستم 12 قسمتی مساوی
همانطور که در اشاره شد نحوه تعدیل سیستم فیثاغورثی خود دارای بنیادی ریاضی است. اما می توان به جنبه های دیگر ریاضی این سیستم نیز پرداخت.

1- اصولا نیم پرده های مساوی حاصل تقسیم اکتاو به 12درجه لگاریتمی مساوی می باشند. سیستم 12 درجه ای فیثاغورثی ٬ ناشی از چرخه بالارونده یا پایین رونده پنجم ٬ گویای حضور 12 نیم پرده نامساوی می باشد. حال می توان اکتاو 1200 سنتی را به 12 قسمت مساوی تبدیل نمود تا 12نیم پرده مساوی 100 سنتی حاصل شود.

2- سیستم 12 نیم پرده مساوی حاصل میانگین هندسی است. با احتساب میانگین هندسی فواصل 1/2 و 1/1 می توان نسبت فاصله چهارم افزوده را پیدا نمود که معادل: است. به همین ترتیب می توان بقیه فواصل بینابینی را پیدا نمود. مثلا با محاسبه ریشه دوم نسبت فاصله چهارم افزوده٬ نسبت فاصله سوم کوچک بدست می آید. به طور کلی فاصله متشکل از n نیم پرده دارای نسبتی معادل: می باشد. در جدول زیر مقادیر فرکانسی برای درجات مختلف سیستم 12 نیم پرده مساوی با A=440 Hz به عنوان نت آغازین مشاهده می شود.