خرک‌گذاری سیم‌های سفید سنتور برای نت‌های غیر اکتاو (۱)

این جستار کوتاه در تکمیل، اصلاح و پاسخ به مواردی است که هنرمند گرامی، میلاد کیایی، در کانال یوتیوبی خود، در خصوص کوک نمودن لاکرن و لابمل در کوک شور سل سنتور منتشر کرده‌اند. (این ویدئو در این لینک قابل دسترسی است).

مروری کوتاه بر روابط سیم مرتعش
فرکانس یک سیم مرتعش با سطح مقطع ثابت در طول خود،  بر اساس رابطه زیر قابل محاسبه است.

(۱.۱)

که در این رابطه، f فرکانس، L طول آزاد مرتعش‌شونده، T نیروی کششی سیم و γ  وزن واحد طول سیم است. به عبارت دیگر فرکانس یک سیم رابطه مستقیم با مجذور نیروی کششی و رابطه عکس با طول آزاد و مجذور وزن واحد طول سیم دارد. با توجه به این رابطه در یک سیم از یک خرک مشخص در سنتور، چون جنس سیم و کشش داخلی آن ثابت است، تنها عامل موثر بر فرکانس، طول مرتعش، یا به بیان دیگر محل خرک است.

از طرف دیگر امروزه واحد سنت (cent)، یک واحد بین‌المللی برای سنجش فواصل موسیقی است. این واحد بر اساس تقسیم‌بندی مساوی یک اکتاو به ۱۲۰۰ قسمت به دست می‌آید. به عبارت دیگر در این سیستم، هر نیم‌پرده ۱۰۰ سنت است. برای تدوین یک رابطه ریاضی بین نسبت فرکانسی و فاصله دو نت بر حسب سنت، با توجه به اینکه در فاصله اکتاو نسبت فرکانسی برابر با ۲ خواهد بود و تقسیم‌بندی سنت به صورت مساوی است، پس رابطه حاصله بر مبنای یک تابع نمایی با پایه ۲ و به صورت زیر تعریف می‌شود.

(۱.۲)

که در این رابطه f_۱ فرکانس نت اول، f_۲ فرکانس نت دوم و c فاصله دو نت برحسب سنت است. هم‌چنین بر اساس رابطه (۱.۲) می‌توان فاصله دو نت بر حسب سنت را بر اساس نسبت فرکانسی آن‌ها محاسبه کرد.

(۱.۳)

با درنظر گرفتن رابطه (۱.۱) و با ثابت بودن T و γ در تمام طول یک سیم از یک خرک مشخص سنتور، در رابطه (۱.۳) می‌توان مستقیماً نسبت طول سیم (یعنی L_۲/L_۱) را به جای نسبت فرکانسی f_۱/f_۲ قرار داد.

طرح مسئله
برای دستیابی به محل خرکی از سیم‌های سفید سنتور که با هم یک اکتاو منهای یک چهارم پرده اختلاف دارند، چطور عمل کنیم؟

بررسی حل مسئله ارائه شده توسط میلاد کیایی
اگر خرک در موقعیتی قرار گیرد که طول سمت راست آن، دو برابر سمت چپ باشد، با توجه به روابط فوق، نسبت فرکانسی حاصله ۲ و مقدار فاصله حاصله ۱۲۰۰ سنت یا یک اکتاو خواهد بود.

(۱.۳)

مطابق توضیحات ویدئو، خرک به اندازه یک هشتم پرده (یعنی ۲۵ سنت) به سمت راست حرکت داده می‌شود. با استفاده از روابط فوق، و اگر طول L را برابر واحد در نظر بگیریم، نسبت فرکانسی ۲۷۵:۲۷۹ و طول مرتعش برای افزایش فرکانس سمت راست سیم برابر ۱.۰۱۴۵ خواهد بود. پس محل خرک به صورت زیر تغییر خواهد کرد.

تصویر ۲: جابجاشدن خرک

در نتیجه طول سیم در سمت چپ از L/2 به (۲۸۷/۵۵۸)L افزایش می‌یابد که با استفاده از رابطه (۱.۳) می‌توان نتیجه گرفت که صدای حاصله نسبت به حالت اولیه خرک (تصویر ۱) به اندازه تقریبی ۴۹ سنت (یا ربع پرده) تغییر کرده است. پس در این وضعیت جانمایی خرک (تصویر ۲) سمت راست به میزان یک هشتم پرده (۲۵ سنت) زیرتر و سمت چپ به میزان یک چهارم (یا دو هشتم) پرده (حدود ۵۰ سنت) بم‌تر شده است که آقای میلاد کیایی نیز در ویدئو به این موضوع اشاره کرده‌اند. یعنی دو سمت خرک با نسبت فرکانسی درحدود ۱.۹۱۶۴ یعنی به میزان تقریبی ۱۱۲۶ سنت با هم اختلاف دارند.